Question

如圖，已知等邊△ABC，P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BP=nCP，以AP為邊向右作等邊△APD，PF⊥AD交AC于E，連接CD．

（1）當(dāng)n=1時(shí)，求

CD

BP

=

 

；

PE

EF

=

 

．
（2）當(dāng)n=2時(shí)，求證：PE=EF．
（3）當(dāng)n=

 

時(shí)，△AEF是等腰直角三角形（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，BP=CP，由△ABC和△APD是等邊三角形，可得△APC≌△ADC，即可得出

CD

BP

=1，再由含30°角的直角三角形求出

AE

EF

=2，即可得出答案．
（2）作EM∥AD，交PD于點(diǎn)M，連接DE，利用△ABC和△APD是等邊三角形，得出△BAP≌△CAD，再利用全等的性質(zhì)得出△PCD∽△EMD，利用比例關(guān)系式得出點(diǎn)M為中點(diǎn)，
由平行線的性質(zhì)即可得出點(diǎn)E為中點(diǎn)．即PE=EF．
（3）假設(shè)△AEF是等腰直角三角形，得出∠FAE=∠FEA=45°，作AM⊥BC交BC于點(diǎn)M，得出∠BAM=30°，∠MAP=15°，再作PN⊥AC，利用角平分線的性質(zhì)，得出MP=NP，由
sin60°求出MP與CP的關(guān)系，再找出BM=MP+PC，利用

BP

CP

即可求出n的值．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，BP=CP，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠APC=90°，∠PAC=30°，
∵以AP為邊向右作等邊△APD，
∴AP=AD，∠PAD=60°，
∴∠DAC=∠PAC=30°，
在△APC和△ADC中，

AP=AD ∠PAC=∠DAC AC=AC

，
∴△APC≌△ADC（SAS），
∴CD=PC，
∴

CD

BP

=1，
∵PF⊥AD，
∴∠APE=30°，
∴PE=AE，
∵∠DAC=30°，
∴

AE

EF

=2，
∴

PE

EF

=2，
故答案為：1，2．
（2）如圖1，作EM∥AD，交PD于點(diǎn)M，連接DE，

∵△ABC和△APD是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAP=60°，AB=AC，AP=AD，
∵∠BAP+∠PAC=∠DAC+∠PAC=60°，
∴∠BAP=∠DAC
在△BAP和△CAD中，

AB=AC ∠BAP=∠DAC AP=AD

，
∴△BAP≌△CAD（SAS），
∴∠DCA=∠B=60°，CD=BP，
∴∠PCD=120°，
∵n=2，即BP=2CP，BP：CP=2，
∴CD：CP=2，
∵EM∥AD，∠ADB=60°，
∴∠DME=120°，
∵PF⊥AD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠EAP=∠EDP，
∵∠APD=∠DCA=60°，
∴∠EAP=∠CDP，
∴∠CDP=∠EDP，
∴△PCD∽△EMD，
∴DM：EM=CD：CP=2，
∴DM=2EM，
∵∠DPE=30°，
∴PM=2EM
∴PM=DM，
∵EM∥AD，
∴PE=EP．
（3）如圖2，假設(shè)△AEF是等腰直角三角形

∵△AEF是等腰直角三角形，
∴FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠FAE=60°，
∴∠BAP=∠FAE=45°，∠PAC=15°，
作AM⊥BC交BC于點(diǎn)M，
∴∠BAM=30°，∠MAP=15°，
作PN⊥AC，
∵∠MAP=∠CAM，
∴MP=NP，
∴sin60°=

NP

CP

=

MP

CP

=

3

2

，
∴MP=

3

2

CP，
∵BM=MP+PC，
∴

BP

CP

=

BM+MP

CP

=

MP+PC+MP

CP

=

2MP+PC

CP

=

3

+1，
∴n=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，本題的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，運(yùn)用三角形相似及三角函數(shù)求解．