Question

【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD,等邊△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足為F,連接DF；

求證:(1)AC=EF；

(2)四邊形ADFE是平行四邊形；

(3)AC⊥DF；

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；

（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；

（3）先求∠EAC=90°，由ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，則AC⊥DF．

證明：(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF，AB=AE，

∴AF=BC，

在Rt△AFE和Rt△BCA中，

∵ ，

∴△AFE≌△BCA(HL)，

∴AC=EF；

(2)∵△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，

又∵EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∵AC=EF，AC=AD，

∴EF=AD，

∴四邊形ADFE是平行四邊形；

(3)∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°

∵四邊形ADFE是平行四邊形，

∴AE∥FD，

∴∠EAC=∠AGD=90°，

∴AC⊥DF.