Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）求證：.

（2）如果，求線段PC的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BDC=∠BDA，然后利用“邊角邊”證明△APD和△CPD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等證明即可

（2）利用兩組角對(duì)應(yīng)相等則兩三角形相似，證明△APE與△FPA相似；根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論．

（1）在菱形ABCD中，AD=CD，∠BDC=∠BDA，

在△APD和△CPD中，∵，

∴△APD≌△CPD（SAS），∴∠DCP=∠DAP；

（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP．

∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，

又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA，∴，∴PA2=PEPF．

∵△APD≌△CPD，∴PA=PC，∴PC2=PEPF．

∵PE=3，EF=5，∴PF=8，∴PC=．