Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分線CF于點F

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；

（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．

①AE=EF是否總成立？請給出證明；

②在如圖2的直角坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線上，求此時點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）△AGE與△ECF（2）①成立②

【解析】

（1）取AB的中點G，連接EG，利用ASA能得到△AGE與△ECF全等．

（2）①在AB上截取AG=EC，由ASA證得△AGE≌△ECF即可證得AE=EF．

②過點F作FH⊥x軸于H，根據(jù)FH=BE=CH設BH=a，則FH=a－1，然后表示出點F的坐標，根據(jù)點F恰好落在拋物線上得到有關a的方程求得a值即可求得點F的坐標．

解：（1）如圖，取AB的中點G，連接EG，則△AGE與△ECF全等．

（2）①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立．證明如下：如圖，

在AB上截取AG=EC，

∵AB=BC，

∴BG=BE．

∴△GBE是等腰直角三角形．

∴∠AGE=180°－45°=135°．

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°．

∴∠AGE=∠ECF．

又∵∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF．

∴△AGE≌△ECF（ASA）．

∴AE=EF．

②過點F作FH⊥x軸于H，

由①知，FH=BE=CH，設BH=a，則FH=a－1．

∴點F的坐標為F（a，a－1）．

∵點F恰好落在拋物線上，

∴．

∴a2=2．∴（負值不合題意，舍去）．

∴．∴點F的坐標為．