Question

【題目】 如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是邊AC上任意一點（點E與點A，C不重合），以CE為一直角邊作Rt△ECD，∠ECD=90°，連接BE，AD．

（1）若CA=CB，CE=CD

①猜想線段BE，AD之間的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

②現(xiàn)將圖1中的Rt△ECD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)銳角α，得到圖2，請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD繞著點C順時針轉(zhuǎn)銳角α，如圖3，連接BD，AE，計算的值．

Answer 1

【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②見解析；（2）125．

【解析】

試題根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)得出BE=AD，BE⊥AD；設(shè)BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，根據(jù)∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后結(jié)合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，則AD=BE，∠CAD=∠CBF，根據(jù)∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，從而說明垂直；首先根據(jù)題意得出△ACD∽△BCE，然后說明∠AGE=∠BGD=90°，最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線段轉(zhuǎn)化成已知的線段得出答案．

試題解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD

②BE=AD，BE⊥AD仍然成立

證明：設(shè)BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，如圖1．

∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90° ∴∠AFG+∠CAD=90°

∴∠AGF=90° ∴BE⊥AD

（2）證明：設(shè)BE與AC的交點為點F，BE的延長線與AD的交點為點G，如圖2．

∵∠ACB=∠ECD=90°， ∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE

∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90° ∴∠AFG+∠CAD=90°

∴∠AGF=90° ∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°

∴，．∴．

∵，，

∴