Question

【題目】在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB為一邊向△ABM的異側(cè)作正方形ABCD，以A為圓心，AM為半徑作⊙A，我們稱正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的內(nèi)部（或圓上），我們稱正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的絕對友好正方形”，例如，圖1中正方形ABCD是⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”．

（1）圖2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在圖中畫出⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形ABCD”．

（2）若點A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）上，它的橫坐標是2，過點A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對友好正方形”，求k的取值范圍．

（3）若點A是直線y＝﹣x+2上的一個動點，過點A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對友好正方形”，求出點A的橫坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．

【解析】

（1）BA＝BM，∠ABM＝90°，則圓的半徑AM＝AB＝AC，故點C在圓上，即可求解；

（2）分a＝2、a＞2、a＜2三種情況，分別探究即可求解；

（3）分m＝1、0＜m＜1、m＝0、m＜0、m＞1五種情況，通過畫圖探究即可求解．

（1）∵BA＝BM，∠ABM＝90°，

∴圓的半徑AM＝AB＝AC，故點C在圓上，補全圖形如圖1，

（2）設(shè)A（2，a），

當a＝2時，正方形ABCD 的頂點C恰好落在⊙A上（如圖2）；

當a＞2時，正方形ABCD 的頂點均落在⊙A內(nèi)部（如圖3）；

當a＜2時，正方形ABCD 的頂點C落在⊙A外部（如圖4）；

∵反比例函數(shù)過點，

∴當a≥2時，則k≥4，

∴k的取值范圍為：k≥4；

（3）當m＝1時，正方形ABCD 的頂點C恰好落在⊙A上（如圖5）；

當0＜m＜1時，正方形ABCD 均落在⊙A內(nèi)部（如圖6）；

當m＝0時，△ABO 不存在；

當m＜0時，正方形ABCD 均落在⊙A內(nèi)部（如圖7）；

當m＞1時，正方形ABCD 的頂點C落在⊙A外部（如圖8），（當m＝2時△ABO不存在）；

綜上分析，點A的橫坐標m的取值范圍為：0＜m≤1或m＜0．