【題目】如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GEBC,垂足為點E,GFCD,垂足為點F.

(1)證明與推斷:

①求證:四邊形CEGF是正方形;

②推斷:的值為   

(2)探究與證明:

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AGBE之間的數(shù)量關系,并說明理由:

(3)拓展與運用:

正方形CEGF在旋轉過程中,當B,E,F(xiàn)三點在一條直線上時,如圖(3)所示,延長CGAD于點H.若AG=6,GH=2,則BC=   

【答案】(1)①四邊形CEGF是正方形;②;(2)線段AG與BE之間的數(shù)量關系為AG=BE;(3)3

【解析】(1)①由、結合可得四邊形CEGF是矩形,再由即可得證;

②由正方形性質(zhì)知,據(jù)此可得,利用平行線分線段成比例定理可得;

(2)連接CG,只需證即可得;

(3),設,知,由、、,由可得a的值.

(1)①∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°,BCA=45°,

GEBC、GFCD,

∴∠CEG=CFG=ECF=90°,

∴四邊形CEGF是矩形,∠CGE=ECG=45°,

EG=EC,

∴四邊形CEGF是正方形;

②由①知四邊形CEGF是正方形,

∴∠CEG=B=90°,ECG=45°,

,GEAB,

故答案為:;

(2)連接CG,

由旋轉性質(zhì)知∠BCE=ACG=α,

RtCEGRtCBA中,

=cos45°==cos45°=,

=

∴△ACG∽△BCE,

,

∴線段AGBE之間的數(shù)量關系為AG=BE;

(3)∵∠CEF=45°,點B、E、F三點共線,

∴∠BEC=135°,

∵△ACG∽△BCE,

∴∠AGC=BEC=135°,

∴∠AGH=CAH=45°,

∵∠CHA=AHG,

∴△AHG∽△CHA,

,

BC=CD=AD=a,則AC=a,

則由,

AH=a,

DH=AD﹣AH=a,CH==a,

∴由,

解得:a=3,即BC=3

故答案為:3

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星期

增減

5

+7

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頻數(shù)分布統(tǒng)計表

組別

成績x(分)

人數(shù)

百分比

A

60≤x<70

8

20%

B

70≤x<80

16

m%

C

80≤x<90

a

30%

D

90≤<x≤100

4

10%

請觀察圖表,解答下列問題:

(1)表中a=   ,m=   

(2)補全頻數(shù)分布直方圖;

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