Question

【題目】如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．

（1）證明與推斷：

①求證：四邊形CEGF是正方形；

②推斷：的值為　 　：

（2）探究與證明：

將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數量關系，并說明理由：

（3）拓展與運用：

正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD于點H．若AG=6，GH=2，則BC=　 　．

Answer 1

【答案】（1）①四邊形CEGF是正方形；②；（2）線段AG與BE之間的數量關系為AG=BE；（3）3

【解析】（1）①由、結合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；

②由正方形性質知、，據此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連接CG，只需證∽即可得；

（3）證∽得，設，知，由得、、，由可得a的值．

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，

∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，

∴EG=EC，

∴四邊形CEGF是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形，

∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，

∴，GE∥AB，

∴，

故答案為：；

（2）連接CG，

由旋轉性質知∠BCE=∠ACG=α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，

=cos45°=、=cos45°=，

∴=，

∴△ACG∽△BCE，

∴，

∴線段AG與BE之間的數量關系為AG=BE；

（3）∵∠CEF=45°，點B、E、F三點共線，

∴∠BEC=135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC=∠BEC=135°，

∴∠AGH=∠CAH=45°，

∵∠CHA=∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴，

設BC=CD=AD=a，則AC=a，

則由得，

∴AH=a，

則DH=AD﹣AH=a，CH==a，

∴由得，

解得：a=3，即BC=3，

故答案為：3．