【題目】如圖,已知拋物線(m>0)與x軸相交于點(diǎn)A,B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).

(1)若拋物線過(guò)點(diǎn)(2,2),求拋物線的解析式;

(2)在(1)的條件下,拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)H,使AH+CH的值最小,若存在,求出點(diǎn)H的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在第四象限內(nèi),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A,B,M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,);(3)當(dāng)m=時(shí),在第四象限內(nèi)拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A,B,M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.

【解析】

(1)把點(diǎn)(2,2)代入,解出m的值即可得到拋物線的解析式;

(2)由(1)中所得解析式求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo),由題意可知,點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,這樣連接BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)H,根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式即可求得點(diǎn)H的坐標(biāo);

(3)由解析式可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-2,0)、(m,0)和(0,2),如下圖,由圖可知∠ACB和∠ABM是鈍角,因此存在兩種可能性:當(dāng)△ACB∽△ABM,②△ACB∽△MBA,分這兩種情況結(jié)合題中已知條件進(jìn)行分析解答即可.

(1)把點(diǎn)(2,2)代入拋物線,

2=.

解得m=4.

∴拋物線的解析式為.

(2)令,解得.

A(-2,0),B(4,0).

對(duì)稱軸x=-.

中當(dāng)x=0時(shí),y=2,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2).

點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,

連接BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)H,此時(shí)AH+CH的值最小,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

B(4,0),C(0,2)代入得 ,解得:

∴直線BC的解析式為y=.

∵當(dāng)x=1時(shí),y==.

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,).

(3)假設(shè)存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A,B,M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似.

如下圖,連接AC,BC,AM,BM,過(guò)點(diǎn)MMNx軸于點(diǎn)N,

由圖易知,∠ACB和∠ABM為鈍角,

①當(dāng)ACB∽△ABM時(shí),有=,即.

∵A(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,

∴∠CAB=BAM=.

MNx軸,∴∠BAM=AMN=45°,

AN=MN.

可設(shè)M的坐標(biāo)為:(x,-x-2)(x>0),

把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,得:-x-2=.

化簡(jiǎn)整理得:x=2m,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(2m,-2m-2).

AM=.

,AC=,AB=m+2,

.

解得:m=.

∵m>0,

∴m=.

②當(dāng)ACB∽△MBA時(shí),有=,即.

∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=,

∴△ANM∽△BOC,=.

∵BO=m,設(shè)ON=x,

=,即MN=x+2).

M(x,(x>0),

M點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,

=.

解得x=m+2.M(m+2,).

CB=,MN=,

.

化簡(jiǎn)整理,得16=0,顯然不成立.

綜上所述,當(dāng)m=時(shí),在第四象限內(nèi)拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A,B,M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似.

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(1)證明與推斷:

①求證:四邊形CEGF是正方形;

②推斷:的值為   

(2)探究與證明:

將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AGBE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由:

(3)拓展與運(yùn)用:

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)B,E,F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖(3)所示,延長(zhǎng)CGAD于點(diǎn)H.若AG=6,GH=2,則BC=   

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的值;

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí),分別取的中點(diǎn),試探究下列結(jié)論:

的值為定值;②的值為定值,

其中有且只有一個(gè)是正確的,請(qǐng)將正確的選出來(lái)并求出該值;

當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在間往返運(yùn)動(dòng),當(dāng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的值.

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【題目】某劇院的觀眾席的座位為扇形,且按下列分式設(shè)置:

排數(shù)(x

1

2

3

4

座位數(shù)(y

50

53

56

59

(1)按照上表所示的規(guī)律,當(dāng)x每增加1時(shí),y如何變化?

(2)寫(xiě)出座位數(shù)y與排數(shù)x之間的關(guān)系式;

(3)按照上表所示的規(guī)律,某一排可能有90個(gè)座位嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.

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AE=CF;②EF=AP;③2S四邊形AEPF=SABC;④當(dāng)EPFABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A,B重合)有BE+CF=EF;上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有__________

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1)當(dāng)t為何值時(shí),PBQ是直角三角形?

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(1)在這項(xiàng)調(diào)查中,共調(diào)查了多少名學(xué)生?

(2)請(qǐng)計(jì)算本項(xiàng)調(diào)查中喜歡“立定跳遠(yuǎn)”的學(xué)生人數(shù)和所占百分比,并將兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)若調(diào)查到喜歡“跳繩”的5名學(xué)生中有3名男生,2名女生.現(xiàn)從這5名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生.請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求出剛好抽到同性別學(xué)生的概率.

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【題目】ABC中,∠BAC90°,點(diǎn)DBC上一點(diǎn),將ABD沿AD翻折后得到AED,邊AE交射線BC于點(diǎn)F

1)如(圖1),當(dāng)AEBC時(shí),求證:DEAC

2)若∠C2B,∠BAD0x60

①如(圖2),當(dāng)DEBC時(shí),求x的值.

②是否存在這樣的x的值,使得DEF中有兩個(gè)角相等.若存在,并求x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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