Question

如圖，在正三角形GHT上截得一個每一個內(nèi)角都相等、周長為20的六邊形ABCDEF，又AF=4，EF=3，
（1）填空：連結(jié)AE，則AE的長為

 

；
（2）已知設(shè)AB=x，六邊形ABCDEF的面積為y，則y的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）先利用多邊形內(nèi)角和定理求出六邊形ABCDEF的每一個內(nèi)角都等于120°，則與其相鄰的外角都等于60°，得出△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形，再過點(diǎn)E作EM⊥FG于M，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出FM=

1

2

FG=

3

2

，則EM=

3

FM=

3

2

3

，然后在Rt△AEM中，利用勾股定理即可求出AE的長；
（2）先由等邊三角形的三邊相等得出3+4+x=x+a+b=b+c+3，由六邊形ABCDEF的周長為20，得出a+b+c+x=13，再將式子變形得出b=2x-2，然后由y=S_△GHT-S_△ABH-S_△CDT-S_△GFE，得出y=-

3

（x-

11

4

）²+

265 3

16

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）∵六邊形ABCDEF的每一個內(nèi)角都相等，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠BAH=∠ABH=∠DCT=∠CDT=∠FEG=∠EFG=60°，
∴△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形．
過點(diǎn)E作EM⊥FG于M，則FM=

1

2

FG=

1

2

EF=

3

2

，
∴EM=

3

FM=

3

2

3

．
△AEM中，∵∠AME=90°，AM=AF+FM=4+

3

2

=

11

2

，EM=

3

2

3

，
∴AE=

AM2+EM2

=

( 11 2 )2+( 3 3 2 )2

=

37

；

（2）∵三角形GHT為等邊三角形，
∴GH=HT=TG，
∵△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形，
∴3+4+x=x+a+b=b+c+3，
∴a+b=7，4+x=b+c，
∵六邊形ABCDEF的周長為20，
∴a+b+c+x=13，7+c+x=13，
∴c+x=6，c=6-x，
∴b+6-x=4+x，b=2x-2．
∴y=S_△GHT-S_△ABH-S_△CDT-S_△GFE
=

3

4

（x+7）²-

3

4

x²-

3

4

（2x-2）²-

3

4

×3²
=-

3

x²+

11 3

2

x+9

3

=-

3

（x-

11

4

）²+

265 3

16

，
∴當(dāng)x=

11

4

時(shí)，y有最大值

265 3

16

．
故答案為

37

；

265 3

16

．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值，多邊形的面積，有一定難度，本題對式子的變形能力要求也較高，解題關(guān)鍵是證明△ABH，△CDT，△EFG都是等邊三角形．