Question

【題目】如圖（1）在正方形中，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，重足為，交于.

（1）求證：；

（2）連接，若平分，如圖（2），求證：點(diǎn)是中點(diǎn)：

（3）在（2）的條件下，連接，如圖（3），求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）見解析

【解析】

（1）證明△BAF≌△ADE(ASA)即可解決問題；

（2） 過點(diǎn)D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點(diǎn)M、N，先根據(jù)AAS證得△BAG≌△AND，推出AG=DN，再由角平分線的性質(zhì)可知DM＝DN，即DM=AG，再證△AFG≌△DFM，推出AF＝DF＝DE＝AD＝CD，即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn) ；

（3）延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)P，由(2)知DE=CD,證得△ADE≌△PCE，推出AE＝PE，再根據(jù)中位線判定定理即可得到CB＝PC，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可證明CG＝BP＝BC=CP ，即為所證 ．

（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o

∴∠2＋∠3＝90o

又 ∵ BF⊥AE ∴∠1＋∠2＝90o ∴∠1＝∠3

在△BAF與△ADE中

∴ △BAF≌△ADE

∴AF＝DE

（2）證明：過點(diǎn)D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分別為點(diǎn)M、N，

由（1）得∠1＝∠3 ， ∠BGA＝∠AND＝90o AB＝AD

∴ △BAG≌△ADN ∴AG＝DN

又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE

∴ DM＝DN

∴ DM＝AG

又∠AFG＝∠DFM ， ∠AGF＝∠DMF

∴ △AFG≌△DFM

∴AF＝DF＝DE＝AD＝CD

即點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).

（3）延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)P，由（2）知DE＝CE，

∵∠ADE＝∠ECP＝90o，∠DEA＝∠CEP

∴ △ADE≌△PCE

∴AE＝PE

又∵CE∥AB ∴ BC＝PC

在Rt△BGP中，BC＝PC

∴CG＝BP＝BC

∴CG＝CD