Question

【題目】已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F

（1）如圖1，若∠ACD=60゜，則∠AFB= ；

（2）如圖2，若∠ACD=α，則∠AFB= （用含α的式子表示）；

（3）將圖2中的△ACD繞點C順時針旋轉任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），如圖3．試探究∠AFB與α的數量關系，并予以證明．

Answer 1

【答案】(1)120°;(2) 180°―α;(3)見解析

【解析】試題分析：（1）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根據三角形內角和定理求出即可；

（2）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CDA+∠DAC，根據三角形內角和定理求出即可；

（3）求出∠ACE=∠DCB，證△ACE≌△DCB，推出∠CAE=∠CDB，求出∠AFB=∠CEB+∠CBE，根據三角形內角和定理求出即可．

試題解析：解：（1）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中

∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE

=∠CDA+∠DAE+∠BAE

=∠CDA+∠DAC

=180°―60°

=120°；

（2）解：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中

∴△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∴∠AFB=∠CDB+∠CDA+∠DAE

=∠CDA+∠DAE+∠BAE

=∠CDA+∠DAC

=180°―∠ACD

=180°―α；

（3）∠AFB=180-α，證明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中

∴△ACE≌△DCB，∴∠AEC=∠DBC，∴∠AFB=∠AEC+∠CEB+∠EBD

=∠DBC+∠CEB+∠EBC

=∠CEB+∠EBC

=180°-∠ECB

=180°-α．