【題目】如圖,Rt△ABC中,AC=CB,點(diǎn)E,F分別是AC,BC上的點(diǎn),△CEF的外接圓交AB于點(diǎn)Q,D.
(1)如圖1,若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),求證:∠DEF=∠B;
(2)在(1)問的條件下:
①如圖2,連結(jié)CD,交EF于H,AC=4,若△EHD為等腰三角形,求CF的長(zhǎng)度.
②如圖2,△AED與△ECF的面積之比是3:4,且ED=3,求△CED與△ECF的面積之比(直接寫出答案).
(3)如圖3,連接CQ,CD,若AE+BF=EF,求證:∠QCD=45°.
【答案】(1)見解析;(2)①0或2或4﹣2;②;(3)見解析.
【解析】
(1)連結(jié)CD.根據(jù)圓周角定理解決問題即可.
(2)①分三種情形:如圖2-1中,當(dāng)EH=HD,可證四邊形CFDE是正方形CF=2.如圖2-2中,當(dāng)EH=ED時(shí),∠EDH=∠EHD=67.5°,如圖2-3中,當(dāng)DA=FH時(shí),點(diǎn)E于A重合,點(diǎn)H與C重合,分別求解即可解決問題.
②如圖2-4中,作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,連接DF.證明△ADE≌△CDF(SAS),推出AE=CF,S△ADE=S△CDF,由DC平分∠ACB,DM⊥AC,DN⊥BC,推出DM=DN,可得四邊形DMCN是正方形,推出DM=CM=CN=DN,因?yàn)?/span>====,,所以可以假設(shè)DN=3k,EC=4k,則AC=BC=6k,AE=CF=2k,再利用三角形的面積公式計(jì)算機(jī)可解決問題.
(3)連接OD,OQ,作ER⊥AB,OH⊥AB,FK⊥AB.想辦法證明△ODQ是等腰直角三角形即可解決問題.
(1)證明:連結(jié)CD.
在Rt△ABC中,∵AC=CB,
∴∠A=∠B=45°,
∵CD=DB,
∴∠DCB=∠B=45°,
∵∠DEF=∠DCB,
∴∠DEF=∠B.
(2)解:①如圖2﹣1中,當(dāng)EH=HD,可證四邊形CFDE是正方形CF=2.
如圖2﹣2中,當(dāng)EH=ED時(shí),∠EDH=∠EHD=67.5°,
∵∠EDF=∠CDB=90°,
∴∠EDH=∠BDF=67.5°,
∴∠BFD=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,
∴∠BDF=∠BFD,
∴BD=BF,
∵AC=BC=4,∠ACB=90°,
∴AB==4,
∴BD=BF=2,
∴CF=4﹣2.
如圖2﹣3中,當(dāng)DA=FH時(shí),點(diǎn)E于A重合,點(diǎn)H與C重合,CF=0.
綜上所述,滿足條件的CF的值為0或2或4﹣2.
②如圖中,作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,連接DF.
∵CA=CB,AD=DB,∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,CD=DA=DB
∴DE=DF,
∵∠ADC=∠EDF=90°,
∴∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF,S△ADE=S△CDF,
∵DC平分∠ACB,DM⊥AC,DN⊥BC,
∴DM=DN,可得四邊形DMCN是正方形,
∴DM=CM=CN=DN,
∵====,
∴可以假設(shè)DN=3k,EC=4k,則AC=BC=6k,AE=CF=2k,
∴==.
(3)證明:連接OD,OQ,作ER⊥AB,OH⊥AB,FK⊥AB.
∵ER∥OH∥FK,EO=OF,
∴RH=HK
∴OH=(ER+FK),
∵ER=AE,FK=FB,
∴OH=(AE+BF)=EF=OE=OQ,
∴∠OQD=∠ODQ=45°,
∴∠QOD=90°,
∴∠QCD=45°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3,4),B(-5,1),C(-1,2).
(1)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo);
(2)畫出△ABC繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖.△ABC中,∠ACB=70°,將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△BDE(點(diǎn)D與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)E與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)),且邊DE恰好經(jīng)過點(diǎn)C,則∠ABD的度數(shù)為( )
A.30°B.40°C.45°D.50°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y1=kx+m(k≠0)和二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的自變最x和對(duì)應(yīng)函數(shù)值y1,y2的部分對(duì)應(yīng)值如表:
x | … | ﹣1 | 0 | 2 | 4 | … |
y1 | … | 0 | 1 | 3 | 5 | … |
x | … | ﹣1 | 1 | 3 | 4 | … |
y2 | … | 0 | ﹣4 | 0 | 5 | … |
當(dāng)y1≥y2時(shí),自變量x的取值范圖是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是BD的中點(diǎn),CE⊥AB,垂足為E,BD交CE于點(diǎn)F.
【1】求證:CF=BF;
【2】若AD=2,⊙O的半徑為3,求BC的長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,若直線l︰y=-2x+4交x軸于點(diǎn)A、交y軸于點(diǎn)B,將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△COD.過點(diǎn)A,B,D的拋物線h︰y=ax2+bx+4.
(1)求拋物線h的表達(dá)式;
(2)若與y軸平行的直線m以1秒鐘一個(gè)單位長(zhǎng)的速度從y軸向左平移,交線段CD于點(diǎn)M、交拋物線h于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)如圖②,點(diǎn)E為拋物線h的頂點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線h在第二象限的上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)D、B重合),連接PE,以PE為邊作圖示一側(cè)的正方形PEFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變,當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí),直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某淘寶網(wǎng)店銷售臺(tái)燈,成本為每個(gè)30元,銷售大數(shù)據(jù)分析表明,當(dāng)每個(gè)臺(tái)燈售價(jià)為40元時(shí),平均每月售出600個(gè),若售價(jià)每上漲1元,其月銷量就減少20個(gè),若售價(jià)每下降1元,其月銷量就增加200個(gè).
(1)若售價(jià)上漲元,每月能售出___________個(gè)臺(tái)燈.
(2)為迎接“雙十一”,該網(wǎng)店決定降價(jià)銷售,在庫(kù)存為1210個(gè)臺(tái)燈的情況下,若預(yù)計(jì)月獲利恰好為8400元,求每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于二次函數(shù),下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.當(dāng)時(shí),隨的增大而減小B.它的圖象與軸有交點(diǎn)
C.當(dāng)時(shí),D.它的圖象與軸交于點(diǎn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,已知 AD>AB.在邊AD上取點(diǎn)E,連結(jié)CE.過點(diǎn)E作EF⊥CE,與邊AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)證明:△AEF∽△DCE.
(2)若AB=3,AE =4,AD=10,求線段BF的長(zhǎng).
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