Question

11．AB是⊙O的直徑，且AB=2，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)O，弧AD：弧DC=2：1，在OC上有一動(dòng)點(diǎn)P，則PA+PD的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接AD′交OC于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD最小，這個(gè)最小值=PA+PD=PA+PD′=AD′，連接PD，BD′，在RT△ABD′中求出AD′即可．

解答 解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接AD′交OC于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD最小，這個(gè)最小值=PA+PD=PA+PD′=AD′，連接PD，BD′．

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD′}$，$\widehat{CD}$=$\widehat{CD′}$，$\widehat{AD}$：$\widehat{CD}$=2：1，
∴$\widehat{BD′}$：$\widehat{CD′}$=2：1，
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD′=60°，∠BAD=30°，
∵AB是直徑，
∴∠AD′B=90°，
∴BD′=$\frac{1}{2}$AB=1，AD′=$\sqrt{A{B}^{2}-BD{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴PA+PD的最小值為$\sqrt{3}$，
故答案為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱最短問題、圓、兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱找到點(diǎn)P的位置，再利用勾股定理解決問題，屬于中考常考題型．