Question

19．如圖，一段拋物線y=-x（x-3）（0≤x≤3），記為C₁，它與x軸交于點O和A₁；將C₁繞A₁旋轉180°得到C₂，交x軸于A₂；將C₂繞A₂旋轉180°得到C₃，交x軸于A₃，…如此進行下去，得到一條“波浪線”．若點P（41，m）在此“波浪線”上，則m的值為（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 0
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 先解方程-x（x-3）=0得A₁（3，0），OA₁=3，利用旋轉的性質得到A₁A₂=OA₁=3，則OA₂=6，A₂（6，0），所以C₂的解析式為y=（x-3）（x-6）（3≤x≤6），利用此規(guī)律可判斷角標為奇數(shù)的拋物線開口向下，角標為偶數(shù)的拋物線開口向上，由于OA₁₃=39，OA₁₄=42，則A₁₃（39，0），A₁₄（42，0），于是可利用交點式寫出C₁₄的解析式為y=（x-39）（x-42）（39≤x≤42），然后把點P（41，m）代入可計算出m的值．

解答 解：當y=0時，-x（x-3）=0，解得x₁=0，x₂=3，則A₁（3，0），OA₁=3，
∵C₁繞A₁旋轉180°得到C₂，
∴A₁A₂=OA₁=3，則OA₂=6，A₂（6，0），
∴C₂的解析式為y=（x-3）（x-6）（3≤x≤6），
同樣可得OA₁₃=39，OA₁₄=42，則A₁₃（39，0），A₁₄（42，0），
∴C₁₄的解析式為y=（x-39）（x-42）（39≤x≤42），
∴點P（41，m）在拋物線C₁₄上，
當x=41時，m=2×（-1）=-2．
故選B．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．解決本題的關鍵是能利用交點式寫出每段拋物線的解析式．