【題目】如圖,在△ABC中,AB7,BC4,∠ABC45°,射線CDABD,點(diǎn)P為射線CD上一動(dòng)點(diǎn),以PD為直徑的⊙OPA、PB分別為E、F,設(shè)CPx

1)求sinACD的值.

2)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:

①當(dāng)⊙O與射線CA相切時(shí),求出所有滿足條件時(shí)x的值;

②當(dāng)x為何值時(shí),四邊形DEPF為矩形,并求出矩形DEPF的面積.

3)如果將△ADC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°,得△ADC′,若點(diǎn)A′和點(diǎn)C′有且只有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi),則x的取值范圍是   

【答案】1sinACD;(2)①x的值為x1x10;②當(dāng)x4±2時(shí),四邊形DEPF為矩形,矩形DEPF的面積為;(3x7

【解析】

1)如圖,在RtBCD中,BC4,∠ABC45°計(jì)算BD、CD,AD的長(zhǎng)度,然后利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度即可求解;

2)①⊙O與射線CA相切包括PAB兩側(cè)兩種情況,當(dāng)PAB左側(cè)時(shí),如圖,sinACD,而CDx+2r4,可求x,同理當(dāng)PAB右側(cè)時(shí)可解;

②設(shè)圓的半徑為r,四邊形DEPF為矩形,包括PAB兩側(cè)兩種情況,當(dāng)PAB右側(cè)時(shí),如圖設(shè):PDx4a,利用三角形APD的面積:ED、DF,利用ED2DF2可以求解,同理當(dāng)當(dāng)PAB左側(cè)的情況;

3)利用勾股定理分別求出PA2,PC2,然后分r2PA2r2PC2兩種情況,分別求解即可.

解:(1)在RtBCD中,BC4,∠ABC45°,

CD4BD4,

,

ADABBD3,

sinACD;

2)①⊙O與射線CA相切,包括PAB兩側(cè)兩種情況,

當(dāng)PAB左側(cè)時(shí),如下圖,圓的半徑為r,圓與AC相切于點(diǎn)H,

則在RtCHO中,OCx+rOHr,sinACD,

sinACD,而CDx+2r4,

解得:x1

同理當(dāng)PAB右側(cè)時(shí),求得x4+610

所有滿足條件時(shí)x的值為x1x10;

②設(shè)圓的半徑為r,四邊形DEPF為矩形,包括PAB兩側(cè)兩種情況,

當(dāng)PAB右側(cè)時(shí),原圖的簡(jiǎn)圖如下圖,設(shè)∠ABP=∠DPEα,

設(shè):PDx4a,

RtADP中,利用三角形APD的面積=EDAPAPPD,

解得:ED,

同理可得:DF,PF2a2DF2

四邊形DEPF為矩形,

ED2DF2,

解得:a2x4+2,

sinα,cosα,

S四邊形DEPFDPsinαcosα

同理當(dāng)當(dāng)PAB左側(cè)時(shí),

此時(shí)PD4xa,

經(jīng)計(jì)算a2,x42,

S四邊形DEPFDPsinαcosα

答:當(dāng)x4±2時(shí),四邊形DEPF為矩形,矩形DEPF的面積為;

3)如下圖,連接PA′、PC′,

在△PDA′中,AD′=3,PD4x,∠PDA150°,

利用勾股定理得:PA2=(2+(x2x211x+,

當(dāng)r2PA2時(shí),解得:x7,

同理可得:PC232+16﹣(8+4x+x2,

當(dāng)r2PC2時(shí),解得:x,

x的取值范圍為:x7

練習(xí)冊(cè)系列答案
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嘗試運(yùn)用

1)如圖1,在RtABC中,∠C90°,BC3,AB5,BD是∠ABC的平分線.

①證明ABD類直角三角形;

②試問(wèn)在邊AC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得ABE也是類直角三角形?若存在,請(qǐng)求出CE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

類比拓展

2)如圖2ABD內(nèi)接于⊙O,直徑AB10,弦AD6,點(diǎn)E是弧AD上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)A,D),延長(zhǎng)BE至點(diǎn)C,連結(jié)AC,且∠CAD=∠AOD,當(dāng)ABC類直角三角形時(shí),求AC的長(zhǎng).

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2)小明向紙箱中再放進(jìn)紅色球若干個(gè),小麗為了估計(jì)放入的紅球的個(gè)數(shù),她將箱子里面的球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把它放回箱子中,多次重復(fù)上述過(guò)程后,她發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率在0.5附近波動(dòng),請(qǐng)據(jù)此估計(jì)小明放入的紅球的個(gè)數(shù).

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1)打折銷售后,第17天的日銷售量為________盒;

2)求yx之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍;

3)已知日銷售利潤(rùn)不低于560元的天數(shù)共有6天,設(shè)打折銷售的折扣為a折,試確定a的最小值.

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