【題目】感知定義
在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,老師給出這樣一個(gè)新定義:如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α+2β=90°,那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”.
嘗試運(yùn)用
(1)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,BD是∠ABC的平分線.
①證明△ABD是“類直角三角形”;
②試問(wèn)在邊AC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得△ABE也是“類直角三角形”?若存在,請(qǐng)求出CE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
類比拓展
(2)如圖2,△ABD內(nèi)接于⊙O,直徑AB=10,弦AD=6,點(diǎn)E是弧AD上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)A,D),延長(zhǎng)BE至點(diǎn)C,連結(jié)AC,且∠CAD=∠AOD,當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時(shí),求AC的長(zhǎng).
【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②CE=;(2)當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時(shí),AC的長(zhǎng)為或.
【解析】
(1)①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問(wèn)題.
②如圖1中,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得△ABE是“類直角三角形”,證明△ABC∽△BEC,可得,由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.
(2)分兩種情形:①如圖2中,當(dāng)∠ABC+2∠C=90°時(shí),作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接FA,FB.則點(diǎn)F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA.
②如圖3中,由①可知,點(diǎn)C,A,F共線,當(dāng)點(diǎn)E與D共線時(shí),由對(duì)稱性可知,BA平分∠FBC,可證∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.
(1)①證明:如圖1中,
∵BD是∠ABC的角平分線,
∴∠ABC=2∠ABD,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠ABC=90°,
∴∠A+2∠ABD=90°,
∴△ABD為“類直角三角形”;
②如圖1中,假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得△ABE是“類直角三角形”,
在Rt△ABC中,∵AB=5,BC=3,
∴AC=,
∵∠AEB=∠C+∠EBC>90°,
∴∠ABE+2∠A=90°,
∵∠ABE+∠A+∠CBE=90°,
∴∠A=∠CBE,
∴△ABC∽△BEC,
∴,
∴CE=,
(2)∵AB是直徑,
∴∠ADB=90°,
∵AD=6,AB=10,
∴BD=,
①如圖2中,當(dāng)∠ABC+2∠C=90°時(shí),作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接FA,FB,則點(diǎn)F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA,
∵∠DBF+∠DAF=180°,且∠CAD=∠AOD,
∴∠CAD+∠DAF=180°,
∴C,A,F共線,
∵∠C+∠ABC+∠ABF=90°,
∴∠C=∠ABF,
∴△FAB∽△FBC,
∴,即 ,
∴AC=.
②如圖3中,由①可知,點(diǎn)C,A,F共線,當(dāng)點(diǎn)E與D共線時(shí),由對(duì)稱性可知,BA平分∠FBC,
∴∠C+2∠ABC=90°,
∵∠CAD=∠CBF,∠C=∠C,
∴△DAC∽△FBC,
∴,即,
∴CD=(AC+6),
在Rt△ADC中,[ (ac+6)]2+62=AC2,
∴AC=或﹣6(舍棄),
綜上所述,當(dāng)△ABC是“類直角三角形”時(shí),AC的長(zhǎng)為 或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓,它們的高,兩樓間的距離,現(xiàn)需了解甲樓對(duì)乙樓的采光的影響情況.
(1)當(dāng)太陽(yáng)光與水平線的夾角為角時(shí),求甲樓的影子在乙樓上有多高(答案可用根號(hào)表示);
(2)若要甲樓的影子剛好不落在乙樓的墻上,此時(shí)太陽(yáng)與水平線的夾角為多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,,是的中點(diǎn),延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),且.
(1)求證:;
(2)若, ,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)購(gòu)的日益盛行,物流行業(yè)已逐漸成為運(yùn)輸業(yè)的主力,已知某大型物流公司有A、B兩種型號(hào)的貨車,A型貨車的滿載量是B型貨車滿載量的2倍多4噸,在兩車滿載的情況下,用A型貨車載1400噸貨物與用B型貨車載560噸貨物的用車數(shù)量相同.
(1)1輛A型貨車和1輛B型貨車的滿載量分別是多少?
(2)該物流公司現(xiàn)有120噸貨物,可以選擇上述兩種貨車運(yùn)送,在滿載的情況下,有幾種方案可以一次性運(yùn)完?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)D,E是半圓O上的三等分點(diǎn),C是弧DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AC和BC,點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,若⊙O的半徑為3,當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí),點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小邱同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),研究函數(shù)y=的圖象與性質(zhì).通過(guò)分析,該函數(shù)y與自變量x的幾組對(duì)應(yīng)值如下表,并畫出了部分函數(shù)圖象如圖所示.
x | 1 |
|
|
| 3 | 4 | 5 | 6 | … |
y | ﹣1 | ﹣2 | ﹣3.4 | ﹣7.5 | 2.4 | 1.4 | 1 | 0.8 | … |
(1)函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是 ;
(2)在圖中補(bǔ)全當(dāng)1≤x<2的函數(shù)圖象;
(3)觀察圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): ;
(4)若關(guān)于x的方程=x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,結(jié)合圖象,可知實(shí)數(shù)b的取值范圍是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)組織學(xué)生到商場(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),他們參與了某種品牌運(yùn)動(dòng)鞋的銷售工作,已知該運(yùn)動(dòng)鞋每雙的進(jìn)價(jià)為120元,為尋求合適的銷售價(jià)格進(jìn)行了4天的試銷,試銷情況如表所示:
(1)觀察表中數(shù)據(jù),x,y滿足什么函數(shù)關(guān)系?請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式;
(2)若商場(chǎng)計(jì)劃每天的銷售利潤(rùn)為3000元,則其單價(jià)應(yīng)定為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn),直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn),直線與相交于點(diǎn),線段、的長(zhǎng)是-元二次方程的兩根(), ,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)若直線與反比例函數(shù)圖象上除點(diǎn)外的另一交點(diǎn)為,求的面積:若點(diǎn)在軸上,若點(diǎn)在軸上,求的最小值:
(2)若點(diǎn)在坐標(biāo)軸.上,在平面內(nèi)存在一點(diǎn),使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形且線段為矩形的一條邊, 直接寫出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=7,BC=4,∠ABC=45°,射線CD⊥AB于D,點(diǎn)P為射線CD上一動(dòng)點(diǎn),以PD為直徑的⊙O交PA、PB分別為E、F,設(shè)CP=x.
(1)求sin∠ACD的值.
(2)在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:
①當(dāng)⊙O與射線CA相切時(shí),求出所有滿足條件時(shí)x的值;
②當(dāng)x為何值時(shí),四邊形DEPF為矩形,并求出矩形DEPF的面積.
(3)如果將△ADC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°,得△A′DC′,若點(diǎn)A′和點(diǎn)C′有且只有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi),則x的取值范圍是 .
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