【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A的坐標是(4,0),并且OAOC4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上.

1)求拋物線的解析式;

2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由;

3)過動點PPE垂直于y軸于點E,交直線AC于點D,過點Dx軸的垂線.垂足為F,連接EF,以線段EF的中點G為圓心,以EF為直徑作⊙G,當⊙G最小時,求出點P的坐標.

【答案】1y=﹣x2+3x+4;(2)存在,P的坐標是(2,6)或(﹣2,﹣6);(3

【解析】

1)首先根據(jù)題意得出C,B點坐標,再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;

2)分別利用第一種情況,當以C為直角頂點時,第二種情況,當點A為直角頂點時,得出P點坐標即可;

3)根據(jù)垂線段最短,可得當OD⊥AC時,OD最短,即EF最短,進而得出P點坐標即可.

解:(1)由A4,0),可知OA4,

∵OAOC4OB

∴OAOC4,OB1

∴C0,4),B(﹣1,0).

設拋物線的解析式是yax2+bx+c,

解得:,

則拋物線的解析式是:y=﹣x2+3x+4

2)存在.

第一種情況,如圖1,當以C為直角頂點時,過點CCP1⊥AC,交拋物線于點P1

過點P1y軸的垂線,垂足是M

∵∠ACP190°

∴∠MCP1+∠ACO90°

∵∠ACO+∠OAC90°,

∴∠MCP1∠OAC

∵OAOC

∴∠MCP1∠OAC45°,

∴∠MCP1∠MP1C,

∴MCMP1,

Pm,﹣m2+3m+4),則m=﹣m2+3m+44,

解得:m10(舍去),m22

m2+3m+46,

P26).

第二種情況,如圖1,當點A為直角頂點時,過AAP2,AC交拋物線于點P2,

過點P2y軸的垂線,垂足是N,APy軸于點F

∴P2N∥x軸,

∠CAO45°,

∴∠OAP45°,

∴∠FP2N45°AOOF

∴P2NNF,

P2n,﹣n2+3n+4),則n=(﹣n2+3n+4+4,

解得:n1=﹣2n24(舍去),

n2+3n+4=﹣6,

P2的坐標是(﹣2,﹣6).

綜上所述,P的坐標是(2,6)或(﹣2,﹣6);

3)如圖2,連接OD,由題意可知,四邊形OFDE是矩形,則ODEF

根據(jù)垂線段最短,可得當OD⊥AC時,OD最短,即EF最短.

由(1)可知,在直角△AOC中,OCOA4,

AC4

根據(jù)等腰三角形的性質,DAC的中點.

∵DF∥OC,

∴DFOC2

P的縱坐標是2

則﹣x2+3x+42,

解得:x

EF最短時,圓最。cP的坐標是:

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