【題目】(問(wèn)題情境)

張老師給愛(ài)好學(xué)習(xí)的小軍和小俊提出這樣的一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在ABC中,ABAC,點(diǎn)P為邊BC上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPDAB,PEAC,垂足分別為D,E,過(guò)點(diǎn)CCFAB,垂足為F,求證:PD+PECF

小軍的證明思路是:如圖2,連接AP,由ABPACP面積之和等于ABC的面積可以證得:PD+PECF

小俊的證明思路是:如圖2,過(guò)點(diǎn)PPGCF,垂足為G,可以證得:PDGFPECG,則PD+PECF

[變式探究]

如圖3,當(dāng)點(diǎn)PBC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),其余條件不變,求證:PDPECF;

請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法完成下列兩題:

[結(jié)論運(yùn)用]

如圖4,將矩形ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上,點(diǎn)C落在點(diǎn)C處,點(diǎn)P為折痕EF上的任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPGBE、PHBC,垂足分別為GH,若AD8,CF3,求PG+PH的值;

[遷移拓展]

5是一個(gè)航模的截面示意圖.在四邊形ABCD中,EAB邊上的一點(diǎn),EDADECCB,垂足分別為D、C,且ADCEDEBC,AB2dm,AD3dm,BDdmM、N分別為AE、BE的中點(diǎn),連接DM、CN,求DEMCEN的周長(zhǎng)之和.

【答案】小軍的證明:見(jiàn)解析;小俊的證明:見(jiàn)解析;[變式探究]見(jiàn)解析;[結(jié)論運(yùn)用]PG+PH的值為4;[遷移拓展](6+2dm

【解析】

小軍的證明:連接AP,利用面積法即可證得;

小俊的證明:過(guò)點(diǎn)PPGCF,先證明四邊形PDFG為矩形,再證明△PGC≌△CEP,即可得到答案;

[變式探究]小軍的證明思路:連接AP,根據(jù)SABCSABPSACP,即可得到答案;

小俊的證明思路:過(guò)點(diǎn)C,作CGDP,先證明四邊形CFDG是矩形,再證明△CGP≌△CEP即可得到答案;

[結(jié)論運(yùn)用] 過(guò)點(diǎn)EEQBC,先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出BF,根據(jù)翻折及勾股定理求出DC,證得四邊形EQCD是矩形,得出BEBF即可得到答案;

[遷移拓展]延長(zhǎng)ADBC交于點(diǎn)F,作BHAF,證明△ADE∽△BCE得到FA=FB,設(shè)DHx,利用勾股定理求出x得到BH6,再根據(jù)∠ADE=∠BCE90°,且MN分別為AE,BE的中點(diǎn)即可得到答案.

小軍的證明:

連接AP,如圖②

PDAB,PEAC,CFAB

SABCSABP+SACP,

AB×CFAB×PD+AC×PE,

ABAC

CFPD+PE

小俊的證明:

過(guò)點(diǎn)PPGCF,如圖2

PDAB,CFAB,PGFC

∴∠CFD=∠FDG=∠FGP90°,

∴四邊形PDFG為矩形,

DPFG,∠DPG90°

∴∠CGP90°,

PEAC

∴∠CEP90°,

∴∠PGC=∠CEP,

∵∠BDP=∠DPG90°

PGAB,

∴∠GPC=∠B,

ABAC,

∴∠B=∠ACB

∴∠GPC=∠ECP,

PGCCEP

,

∴△PGC≌△CEP

CGPE,

CFCG+FGPE+PD;

[變式探究]

小軍的證明思路:連接AP,如圖③,

PDAB,PEAC,CFAB

SABCSABPSACP,

AB×CFAB×PDAC×PE,

ABAC,

CFPDPE

小俊的證明思路:

過(guò)點(diǎn)C,作CGDP,如圖③,

PDAB,CFAB,CGDP,

∴∠CFD=∠FDG=∠DGC90°

CFGD,∠DGC90°,四邊形CFDG是矩形,

PEAC,

∴∠CEP90°

∴∠CGP=∠CEP,

CGDPABDP,

∴∠CGP=∠BDP90°,

CGAB,

∴∠GCP=∠B

ABAC,

∴∠B=∠ACB

∵∠ACB=∠PCE,

∴∠GCP=∠ECP

CGPCEP中,

,

∴△CGP≌△CEP,

PGPE,

CFDGDPPGDPPE

[結(jié)論運(yùn)用]

如圖④

過(guò)點(diǎn)EEQBC,

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC,∠C=∠ADC90°,

AD8CF3,

BFBCCFADCF5

由折疊得DFBF,∠BEF=∠DEF,

DF5,

∵∠C90°

DC4,

EQBC,∠C=∠ADC90°

∴∠EQC90°=∠C=∠ADC,

∴四邊形EQCD是矩形,

EQDC4,

ADBC,

∴∠DEF=∠EFB

∵∠BEF=∠DEF,

∴∠BEF=∠EFB,

BEBF,

由問(wèn)題情景中的結(jié)論可得:PG+PHEQ,

PG+PH4

PG+PH的值為4

[遷移拓展]

延長(zhǎng)AD,BC交于點(diǎn)F,作BHAF,如圖⑤,

AD×CEDE×BC,

,

EDAD,ECCB,

∴∠ADE=∠BCE90°,

∴△ADE∽△BCE,

∴∠A=∠CBE

FAFB,

由問(wèn)題情景中的結(jié)論可得:ED+ECBH,

設(shè)DHx,

AHAD+DH3+x

BHAF,

∴∠BHA90°

BH2BD2DH2AB2AH2

AB2,AD3,BD,

∴(2x2=(22﹣(3+x2,

x1

BH2BD2DH237136,

BH6

ED+EC6,

∵∠ADE=∠BCE90°,且M,N分別為AE,BE的中點(diǎn),

DMEMAECNENBE,

∴△DEMCEN的周長(zhǎng)之和

DE+DM+EM+CN+EN+EC

DE+AE+BE+EC

DE+AB+EC

DE+EC+AB

6+2

∴△DEMCEN的周長(zhǎng)之和(6+2dm

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,ADBCD,BD=AD,DG=DCE,F分別是BG,AC的中點(diǎn).

1)求證:DE=DF,DEDF;

2)連接EF,若AC=10,求EF的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某商店購(gòu)進(jìn)一種商品,每件商品進(jìn)價(jià)30元試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量y(件)

與每件銷(xiāo)售價(jià)x(元)的關(guān)系數(shù)據(jù)如下:

x

30

32

34

36

y

40

36

32

28

(1)已知y與x滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系,根據(jù)上表,求出y與x之間的關(guān)系式(不寫(xiě)出自變量x的取值范圍);

(2)如果商店銷(xiāo)售這種商品,每天要獲得150元利潤(rùn),那么每件商品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元?

(3)設(shè)該商店每天銷(xiāo)售這種商品所獲利潤(rùn)為w(元),求出w與x之間的關(guān)系式,并求出每件商品銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí)利潤(rùn)最大?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB90°,∠ABC30°,BC2.將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后得到△ABC,當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在AB邊上時(shí),陰影部分的面積為___________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】二次函數(shù)a≠0)的圖象如圖所示,則下列命題中正確的是( 。

A. a bc

B. 一次函數(shù)y=ax +c的圖象不經(jīng)第四象限

C. mam+b+bam是任意實(shí)數(shù))

D. 3b+2c0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知直線(xiàn)軸交于點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn),的面積為.

1)求一次函數(shù)的解析式;

2)求點(diǎn)坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,反比例函數(shù)y1的圖象與一次函數(shù)y2ax+b的圖象相交于點(diǎn)A14)和B(﹣2n).

1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;

2)請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出y1y2時(shí),x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠C90°,以BC為直徑的⊙OAB于點(diǎn)D,EAC中點(diǎn).

1)求證:DE是⊙O的切線(xiàn);

2)若AB10,BC6,連接CD,OE,交點(diǎn)為F,求OF的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】小明投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈.銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),每月銷(xiāo)售量y(件)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù):y=﹣10x+500,在銷(xiāo)售過(guò)程中銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià),而每件的利潤(rùn)不高于成本價(jià)的60%

1)設(shè)小明每月獲得利潤(rùn)為w(元),求每月獲得利潤(rùn)w(元)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍.

2)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí),每月可獲得最大利潤(rùn)?每月的最大利潤(rùn)是多少?

3)如果小明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=進(jìn)價(jià)×銷(xiāo)售量)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案