【題目】小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究:

問題情境:(1)如圖1,四邊形中,,點(diǎn)邊的中點(diǎn),連接并延長交的延長線于點(diǎn),求證:;(表示面積)

問題遷移:(2)如圖2:在已知銳角內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn).過點(diǎn)任意作一條直線分別交射線于點(diǎn).小明將直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn),的面積存在最小值,請(qǐng)問當(dāng)直線在什么位置時(shí),的面積最小,并說明理由.

實(shí)際應(yīng)用:(3)如圖3,若在道路之間有一村莊發(fā)生疫情,防疫部門計(jì)劃以公路和經(jīng)過防疫站的一條直線為隔離線,建立個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū),若測得試求的面積.(結(jié)果保留根號(hào))(參考數(shù)據(jù):)

拓展延伸:(4)如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,過點(diǎn)的直線與四邊形一組對(duì)邊相交,將四邊形分成兩個(gè)四邊形,求其中以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值.

【答案】1)證明見解析;(2)當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)最。唬3;(410

【解析】

1)根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出SADESFCE就可以得出結(jié)論;
2)根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)PMN的中點(diǎn)時(shí)SMON最小,過點(diǎn)MMGOBEFG.由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論;

3)如圖3,作PP1OBMM1OB,垂足分別為P1M1,再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論;

4)分情況討論當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對(duì)邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N,延長OCAB交于點(diǎn)D,由條件可以得出AD6,就可以求出△OAD的面積,再根據(jù)問題遷移的結(jié)論就可以求出最大值;
當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對(duì)邊CB、OA分別交M、N,延長CBx軸于T,由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式,就可以求出T的坐標(biāo),從而求出△OCT的面積,再由問題遷移的結(jié)論可以求出最大值,通過比較就可以求出結(jié)論.

1)證明:,

點(diǎn)邊的中點(diǎn),

,

2)當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí),最小,如圖2,

過點(diǎn)的另一條直線于點(diǎn),

設(shè),過點(diǎn),

由問題情境可以得出當(dāng)的中點(diǎn)時(shí).

,

,

當(dāng)點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí),最小

3)如圖3,作,垂足分別為,

中,

,

由問題遷移的結(jié)論知道,

當(dāng)時(shí),的面積最小,

中,

,

4)①如圖4,當(dāng)過點(diǎn)的直線與四邊形的一組對(duì)邊分別交于點(diǎn),延長交于點(diǎn)

,

,

,

由問題遷移的結(jié)論可知,當(dāng)時(shí),的面積最小,

四邊形的面積最大.

垂足分別為

點(diǎn)中點(diǎn)

,

②如圖5,當(dāng)過點(diǎn)的直線與四邊形的另一組對(duì)邊分別交延長軸于,

,

設(shè)直線的解析式為,由題意,得

,解得

,

當(dāng)時(shí),

由問題遷移的結(jié)論可知,當(dāng)時(shí),的面積最小,

四邊形的面積最大.

,

,

,

,

,

,

,

,

綜上所述:截得四邊形面積的最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心,以AB為腰作等腰△ABD,使底邊AD經(jīng)過點(diǎn)O,并分別交BC于點(diǎn)E、交⊙O于點(diǎn)F,若∠BAD30°

1)求證:BD是⊙O的切線;

2)當(dāng)CA2CECB時(shí),

①求∠ABC的度數(shù);

的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在矩形中,延長至點(diǎn),且中點(diǎn),連結(jié),

1)求證:的面積是的面積的倍.

2)若,,求的長.

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【題目】某超市用3400元購進(jìn)A、B兩種文具盒共120個(gè),這兩種文具盒的進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)如下表:

價(jià)格/類型

A

B

進(jìn)價(jià)(元/只)

15

35

標(biāo)價(jià)(元/只)

25

50

1)這兩種文具盒各購進(jìn)多少只?

2)若A型文具盒按標(biāo)價(jià)的9折出售,B型文具盒按標(biāo)價(jià)的8折出售,那么這批文具盒全部售出后,超市共獲利多少元?

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【題目】在陽光體育活動(dòng)時(shí)間,小亮、小瑩、小芳到學(xué)校乒乓球室打乒乓球,當(dāng)時(shí)只有一副空球桌,他們只能選兩人打第一場.

1)如果確定小亮打第一場,再從其余兩人中隨機(jī)選取一人打第一場,選中小瑩的概率是________

2)如果確定小亮打第一場,用投擲硬幣的方法確定小瑩、小芳誰打第一場,并決定小亮做裁判,由小亮拋擲一枚硬幣,規(guī)定正面朝上小瑩勝,反面朝上小芳勝,最終勝兩局以上者(包括兩局)打第一場.小亮第一次投擲的結(jié)果是正面朝上,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示最后兩次投擲硬幣的所有情況,并求小芳打第一場的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在同一平面坐標(biāo)系中,函數(shù)y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常數(shù),且m0)的圖象可能是( 。

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】A.由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m<0,即函數(shù)y=mx2+2x+2開口方向朝上,與圖象不符,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B.由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m<0,對(duì)稱軸為x=<0,則對(duì)稱軸應(yīng)在y軸左側(cè),與圖象不符,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C.由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m>0,即函數(shù)y=mx2+2x+2開口方向朝下,與圖象不符,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D.由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m<0,即函數(shù)y=mx2+2x+2開口方向朝上,對(duì)稱軸為x=<0,則對(duì)稱軸應(yīng)在y軸左側(cè),與圖象相符,故D選項(xiàng)正確;

故選:D.

型】單選題
結(jié)束】
10

【題目】如圖,已知菱形ABCD的周長為16,面積為,EAB的中點(diǎn),若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn),則EP+AP的最小值為( 。

A. 2 B. 2 C. 4 D. 4

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【題目】如圖,是⊙的直徑,是⊙的弦,點(diǎn)延長線的一點(diǎn),平分交⊙于點(diǎn),過點(diǎn),垂足為點(diǎn)

1)求證:是⊙的切線;

2)若,求⊙的半徑.

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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+x+3x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).則APC的周長最小值是_____

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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣4,0),點(diǎn)By軸上,若反比例函數(shù)k0)的圖象過點(diǎn)C,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為(  )

A. B. C. D.

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