【題目】如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E是上一點(diǎn)(不與A、B重合),點(diǎn)F是上一點(diǎn),連接OE,OF,分別與AB,BC交于點(diǎn)G,B,且∠EOF=90°.有下列結(jié)論:①=;②四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化;③△GBH周長(zhǎng)的最小值為2+;④若BG=1﹣,則BG,GE,圍成的面積是,其中正確的是_____.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
【答案】①③.
【解析】
連接OC、OB、CF、BE.①先證明,,再由,即可證明結(jié)論①正確;
②證明△BOG≌△COH,得出OG=OH,證出△OGH是等腰直角三角形,S△OBG=S△OCH,證明S四邊形OGBH=S△BOC=S正方形ABCD=定值即可;
③求出AG=BH,利用等線段代換和等腰直角三角形的性質(zhì)得△BGH的周長(zhǎng)=AB+OG=2+OG,利用垂線段最短得到當(dāng)OG⊥AB時(shí),OG的長(zhǎng)最小,此時(shí)OG=1,即可得出結(jié)論;
④求出∠BOG的度數(shù),由扇形的面積減去三角形的面積即可得出結(jié)論.
如圖所示,連接OC、OB、CF、BE.
∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE=∠COF,
∴,
∵,
∴;故①正確,
在△BOG與△COH中,,
∴△BOG≌△COH(ASA),
∴OG=OH,BG=CH,
∵∠HOG=90°
∴△OGH是等腰直角三角形,
∴S△OBG=S△OCH,
∴S四邊形OGBH=S△BOC=S正方形ABCD=定值,故②錯(cuò)誤;
∵AB=BC,BG=CH,
∴AG=BH,
∴△BGH的周長(zhǎng)=BG+BH+GH=BG+AG+OG=AB+OG=2+OG,
當(dāng)OG⊥AB時(shí),OG的長(zhǎng)最小,此時(shí)OG=1,
∴△GBH周長(zhǎng)的最小值為2+,故③正確;
作OM⊥AB于M,則OM=BM=AB=1,OB=OM=,
∴GM=,
∴tan∠GOM==,
∴∠GOM=30°,
∵∠BOM=45°,
∴∠BOG=45°﹣30°=15°,
∴扇形BOE的面積==,
∵BG=1﹣,
∴AG=1+,
過G作GP⊥BO于P,
∴PG=PB=﹣,
∴△OBG的面積=××(﹣)=﹣,
∴BG,GE,圍成的面積=扇形BOE的面積﹣△BOG的面積=﹣+,故④錯(cuò)誤;
故答案為:①③.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P為⊙O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),PC切⊙O于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作CP的垂線BH交⊙O于點(diǎn)D,連結(jié)AC,CD.
(1)求證:∠PBH=2∠HDC;
(2)若sin∠P=,BH=3,求BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片,點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,已知OA=3,OB=4.將紙片的直角部分翻折,使點(diǎn)C落在AB邊上,記為D點(diǎn),AE為折痕,E在y軸上.
(1)在下圖所示的直角坐標(biāo)系中,求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長(zhǎng).
(2)線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、D重合)自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<3),過P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn),求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)t取何值時(shí),S有最大值?最大值是多少?
(3)當(dāng)t(0<t<3)為何值時(shí),A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形?并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=26,P是AB上(不與點(diǎn)A、B重合)的任一點(diǎn),點(diǎn)C、D為⊙O上的兩點(diǎn),若∠APD=∠BPC,則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”.
(1)若∠BPC=∠DPC=60°,則∠CPD是直徑AB的“回旋角”嗎?并說明理由;
(2)若的長(zhǎng)為π,求“回旋角”∠CPD的度數(shù);
(3)若直徑AB的“回旋角”為120°,且△PCD的周長(zhǎng)為24+13,直接寫出AP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,),頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.
(1)求該拋物線的一般式;
(2)若點(diǎn)Q為該拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)Q在對(duì)稱軸DE的右側(cè),求四邊形DEBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)P為對(duì)稱軸DE上異于D,E的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作直線PB的垂線交直線PB于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,當(dāng)△PDG為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB 是⊙O 的弦,半徑OE⊥ AB ,P 為 AB 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PC 與⊙O相切于點(diǎn) C,連結(jié) CE,交 AB 于點(diǎn) F,連結(jié) OC.
(1)求證:PC=PF.
(2)連接 BE,若∠CEB=30°,半徑為 8,tan P ,求 FB 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了促進(jìn)學(xué)生多樣化發(fā)展,某校組織開展了社團(tuán)活動(dòng),分別設(shè)置了體育類、藝術(shù)類、文學(xué)類及其它類社團(tuán)(要求人人參與社團(tuán),每人只能選擇一項(xiàng)).為了解學(xué)生喜愛哪種社團(tuán)活動(dòng),學(xué)校做了一次抽樣調(diào)查.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,完成下列問題:
(1)此次共調(diào)查了多少人?
(2)求文學(xué)社團(tuán)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角的度數(shù);
(3)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)若該校有1500名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)喜歡體育類社團(tuán)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形中,為上一點(diǎn),,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).若,,則的長(zhǎng)為( )
A.18B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線交AB于點(diǎn)M,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接OM,OC=1.
(1)求證:AM=MD;
(2)填空:
①若DN,則△ABC的面積為 ;
②當(dāng)四邊形COMD為平行四邊形時(shí),∠C的度數(shù)為 .
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