Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，），頂點(diǎn)為D，對稱軸交x軸于點(diǎn)E．

（1）求該拋物線的一般式；

（2）若點(diǎn)Q為該拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q在對稱軸DE的右側(cè)，求四邊形DEBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P為對稱軸DE上異于D，E的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線PB的垂線交直線PB于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，當(dāng)△PDG為等腰三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2），Q（，）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）或（2，﹣2）或（2，﹣﹣2）或（2，﹣）

【解析】

（1）將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入解析式即可求出a、b，c的值；

（2）過點(diǎn)Q作y軸的平行線交BD于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)Q（m，），求出直線BD的解析式為y＝，可設(shè)M（m，），則QM＝，根據(jù)S四邊形DEBQ＝S△DEB+S△DQM+S△BQM可得出m的表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出答案．

（3）設(shè)點(diǎn)P（2，n），可得出點(diǎn)G（2﹣，0），分當(dāng)GP＝GD、GP＝PD、GD＝PD三種情況，得出n的方程分別求解即可．

解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），代入拋物線解析式得：

，解得：，

∴拋物線解析式為：y＝﹣；

（2）∵拋物線解析式為y＝﹣＝﹣，

∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，），對稱軸為x＝2，E（2，0），

過點(diǎn)Q作y軸的平行線交BD于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)Q（m，），

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，

則，

解得：，

∴直線BD的解析式為y＝，

可設(shè)M（m，），

∴QM＝﹣（）＝，

∴S四邊形DEBQ＝S△DEB+S△DQM+S△BQM

＝+×（m﹣2）+，

＝．

當(dāng)m＝時(shí)，S四邊形DEBQ取得最大值，S四邊形DEBQ＝．

此時(shí)．

∴Q（，）．

（3）拋物線的對稱軸為x＝2，則點(diǎn)D（2，），

設(shè)點(diǎn)P（2，n），

將點(diǎn)P、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+t并解得：

函數(shù)PB的表達(dá)式為：y＝，

∵DG⊥PB，

故直線DG表達(dá)式中的k值為，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，

同理可得直線DG的表達(dá)式為：y＝，

解得：x＝2﹣，

故點(diǎn)G（2﹣，0），

∴GP2＝，，，

①當(dāng)GP＝GD時(shí)，，

解得：n＝﹣或（舍去），

∴P（2，﹣）．

②當(dāng)GP＝PD時(shí)，，

解得：n＝﹣2±，

∴P（2，﹣2+）或P（2，﹣2﹣）．

③當(dāng)GD＝PD時(shí)，，

解得：n＝﹣或n＝0（舍去）．

∴P（2，）．

綜合上述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣）或（2，﹣2）或（2，﹣﹣2）或（2，﹣）．