Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB＝26，P是AB上(不與點A、B重合)的任一點，點C、D為⊙O上的兩點，若∠APD＝∠BPC，則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”．

(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，則∠CPD是直徑AB的“回旋角”嗎？并說明理由；

(2)若的長為π，求“回旋角”∠CPD的度數(shù)；

(3)若直徑AB的“回旋角”為120°，且△PCD的周長為24+13，直接寫出AP的長．

Answer 1

【答案】(1)∠CPD是直徑AB的“回旋角”，理由見解析；(2)“回旋角”∠CPD的度數(shù)為45°；(3)滿足條件的AP的長為3或23．

【解析】

（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直徑AB的“回旋角”；（2）利用CD弧長公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，利用∠CPD為直徑AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即點D，P，E三點共線，∠CED＝∠COD＝22.5°，

得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，則∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情況P在OA上或者OB上的情況，在OA上時，同理（2）的方法得到點D，P，F在同一條直線上，得到△PCF是等邊三角形，連接OC，OD，過點O作OG⊥CD于G，

利用sin∠DOG，求得CD，利用周長求得DF，過O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，進而得到AP；在OB上時，同理OA計算方法即可

∠CPD是直徑AB的“回旋角”，

理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，

∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠BPC＝∠APD，

∴∠CPD是直徑AB的“回旋角”；

(2)如圖1，∵AB＝26，

∴OC＝OD＝OA＝13，

設∠COD＝n°，

∵的長為π，

∴

∴n＝45，

∴∠COD＝45°，

作CE⊥AB交⊙O于E，連接PE，

∴∠BPC＝∠OPE，

∵∠CPD為直徑AB的“回旋角”，

∴∠APD＝∠BPC，

∴∠OPE＝∠APD，

∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，

∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，

∴點D，P，E三點共線，

∴∠CED＝∠COD＝22.5°，

∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，

∴∠CPD＝45°，

即：“回旋角”∠CPD的度數(shù)為45°，

(3)①當點P在半徑OA上時，如圖2，過點C作CF⊥AB交⊙O于F，連接PF，

∴PF＝PC，

同(2)的方法得，點D，P，F在同一條直線上，

∵直徑AB的“回旋角”為120°，

∴∠APD＝∠BPC＝30°，

∴∠CPF＝60°，

∴△PCF是等邊三角形，

∴∠CFD＝60°，

連接OC，OD，

∴∠COD＝120°，

過點O作OG⊥CD于G，

∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，

∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝

∴CD＝，

∵△PCD的周長為24+13，

∴PD+PC＝24，

∵PC＝PF，

∴PD+PF＝DF＝24，

過O作OH⊥DF于H，

∴DH＝DF＝12，

在Rt△OHD中，OH＝

在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，

∴OP＝10，

∴AP＝OA﹣OP＝3；

②當點P在半徑OB上時，

同①的方法得，BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝23，

即：滿足條件的AP的長為3或23．