Question

如圖，已知二次函數(shù)y=a（x²-6x+8）（a＞0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若S_△ABC=8，則過A、B、C三點(diǎn)的圓是否與拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)D？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）將△OAC沿直線AC翻折，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為O′．
①若O′落在該拋物線的對稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；
②是否存在正整數(shù)a，使得點(diǎn)O′落在△ABC的內(nèi)部？若存在，求出整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0，則x²-6x+8=0，求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2×8a=8，即可得出a的值，即可得出答案；
（3）①將△OAC沿直線AC翻折，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O′落在對稱軸x=3上，即可得出AE，AO的值，進(jìn)而tan∠CAO=

CO

AO

求出即可；
②過A點(diǎn)作AF⊥BC，F(xiàn)為垂足，則AF=2＜AB，即AF＜OA，即可得出答案．

解答：解：（1）令y=0，則x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A（2，0），B（4，0）；

（2）∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2×8a=8，
∴a=1，
∴y=x²-6x+8，
當(dāng)a=1時(shí)，x=0，則y=8，
∴C（0，8），
∵拋物線與圓均為軸對稱圖形，都關(guān)于直線x=3對稱，
∴圓與拋物線第四個(gè)交點(diǎn)為D（6，8）；

（3）①將△OAC沿直線AC翻折，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)O′落在對稱軸x=3上，
∴AE=1，AO=2，
在Rt O′AE中，∠O′AE=60°，
∴∠CAO=60°，
tan∠CAO=

OC

OA

=

8a

2

=

3

，
∴a=

3

4

；
②過A點(diǎn)作AF⊥BC，F(xiàn)為垂足，∴AF=2＜AB，即AF＜OA
∴不論a取何值，O點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)O′總落在△ABC的外部
∴這樣的整數(shù)a不存在．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和圖象與x軸交點(diǎn)求法以及三角形面積等知識(shí)，利用銳角三角函數(shù)得出∠CAO=60°是解題關(guān)鍵．