【題目】將紙片△ABC沿AD折疊,使點C剛好落在AB邊上的E處,展開如圖1.
[操作觀察]
(1)如圖2,作DF⊥AC,垂足為F,且DF=3,AC=6,S△ABC=21,則AB= ;
[理解應(yīng)用]
(2)①如圖3,設(shè)G為AC上一點(與A、C)不重合,P是AD上一個動點,連接PG、PC.試說明:PG+PC與EG大小關(guān)系;
②連接EC,若∠BAC=60°,G為AC中點,且AC=6,求EC長.
[拓展延伸]
(3)請根據(jù)前面的解題經(jīng)驗,解決下面問題:
如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中有A(1,4),B(3,﹣2),點P是x軸上的動點,連接AP、BP,當(dāng)AP﹣BP的值最大時,請在圖中標(biāo)出P點的位置,并直接寫出此時P點的坐標(biāo)為 ,AP﹣BP的最大值為 .
【答案】(1)8;(2)①PG+PC≥EG,理由見解析;②連6;(3)(5,0),2.
【解析】
(1)根據(jù)折疊的特性可知折痕AD為∠BAC的角平分線,由此可得出點D到AB和點D到AC的距離相等,再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論;
(2)連接CM、PE、CE,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出當(dāng)點P與點M重合時,PF+PC值最小,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AE=AC,結(jié)合∠BAC=60°即可得出△AEC為等邊三角形,由此即可解決問題;
(3)作點B關(guān)于x軸的對稱點B′,連接AB′、PB′,延長AB′交x軸于點P′,根據(jù)三角形內(nèi)兩邊之差小于第三邊找出當(dāng)點P和P′點重合時,AP﹣BP的值最大,再由點B的坐標(biāo)可得出點B′的坐標(biāo),結(jié)合點A、B′的坐標(biāo)即可求出直線AB′的解析式,令其y=0求出x即可找出點P′的坐標(biāo),由此即可得出結(jié)論.
(1)∵將紙片△ABC沿AD折疊,使C點剛好落在AB邊上的E處,∴AD為∠BAC的角平分線,∴點D到AB和點D到AC的距離相等,∴S△ABC=ABDF+ACDF=21,∴AB3+×6×3=21,∴AB=8.
故答案為:8.
(2)①結(jié)論:PG+PC≥EG.理由如下:
連接PE,如圖3所示.
∵將紙片△ABC沿AD折疊,使C點剛好落在AB邊上的E處,∴AD為∠BAC的角平分線,AE=AC,∴PE=PC.在△PEG中,PE+PG≥EG,∴PC+PG≥EG.
②連接EC,如圖3中.
∵AE=AC,∠BAC=60°,∴△AEC為等邊三角形.
又∵AC=6,∴EC=AC=6.
(3)作點B關(guān)于x軸的對稱點B′,連接AB′、PB′,延長AB′交x軸于點P′,如圖4所示.
∵點B和B′關(guān)于x軸對稱,∴PB=PB′,P′B′=P′B.
∵在△APB′中,AB′>AP﹣PB′,∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′>AP﹣PB′=AP﹣PB,∴當(dāng)點P與點P′重合時,AP﹣BP最大.
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b.
∵點B(3,﹣2),∴點B′(3,2),AB′===2.
將點A(1,4)、B′(3,2)代入y=kx+b中,得:,解得:,∴直線AB′的解析式為y=﹣x+5.
令y=﹣x+5中y=0,則﹣x+5=0,解得:x=5,∴點P′(5,0).
故AP﹣BP的最大值為2,此時P點的坐標(biāo)為(5,0).
故答案為:(5,0),2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線y=﹣ x2+ x+4經(jīng)過A、B兩點.
(1)寫出點A、點B的坐標(biāo);
(2)若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移,分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和點P,連接PA、PB.設(shè)直線l移動的時間為t(0<t<4)秒,求四邊形PBCA的面積S(面積單位)與t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出四邊形PBCA的最大面積;
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在一點P,使得△PAM是直角三角形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC,且∠ACB=90°.
(1)請用直尺和圓規(guī)按要求作圖(保留作圖痕跡,不寫作法和證明):
①以點A為圓心,BC邊的長為半徑作⊙A;
②以點B為頂點,在AB邊的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)請判斷直線BD與⊙A的位置關(guān)系(不必證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(5分)已知A,B兩地相距200千米,一輛汽車以每小時60千米的速度從A地勻速駛往B地,到達B地后不再行駛,設(shè)汽車行駛的時間為x小時,汽車與B地的距離為y千米.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)汽車行駛了2小時時,求汽車距B地有多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在下列條件中,不能作為判斷△ABD≌△BAC的條件是( )
A. ∠D=∠C,∠BAD=∠ABC B. ∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC
C. BD=AC,∠BAD=∠ABC D. AD=BC,BD=AC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點A,B的坐標(biāo)分別為(-2,3)和(1,3),拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的頂點在線段AB上運動時,形狀保持不變,且與x軸交于C,D兩點(C在D的左側(cè)),給出下列結(jié)論:①c<3;②當(dāng)x<-3時,y隨x的增大而增大;③若點D的橫坐標(biāo)最大值為5,則點C的橫坐標(biāo)最小值為-5;④當(dāng)四邊形ACDB為平行四邊形時,a= .其中正確的是( )
A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:
在元旦放假期間,小張、小王等同學(xué)跟隨家長一起到公園游玩,下面是購買門票時小張和爸爸的對話:
請根據(jù)圖中的信息解答問題:
(1)他們中一共有成年人多少人?學(xué)生多少人?
(2)請你幫助小張算一算,用哪種方式購票更省錢并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,∠3=∠B,∠1+∠2=180°,∠AED=∠C大小相等嗎?請說明理由.
請完成填空并補充完整.
解:因為∠1+∠2=180°(已知)
又因為∠2+∠ =180°(鄰補角的意義)
所以∠1=∠ ( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖可以近似地刻畫下列哪個情景( )
A. 小明勻速步行上學(xué)時離學(xué)校的距離與時間的關(guān)系
B. 勻速行駛的汽車的速度與時間的關(guān)系
C. 小亮媽媽到超市購買蘋果的總費用與蘋果質(zhì)量的關(guān)系
D. 一個勻速上升的氣球的高度與時間的關(guān)系
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