Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知，.

（1）如圖1，求的值.

（2）把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)分別為、.

①當(dāng)恰好落在的延長線上時(shí)，如圖2，求出點(diǎn)、的坐標(biāo).

②若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出線段長的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）①，②;（3）

【解析】

（1）作AH⊥OB，根據(jù)正弦的定義即可求解；

（2）作MC⊥OB，先求出直線AB解析式，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義求出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)MN∥OB，求出N點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由于點(diǎn)C是定點(diǎn)，點(diǎn)P隨△ABO旋轉(zhuǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓，故根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，CP=BP-BC最短；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長線上時(shí)，CP=BP+BC最長．又因?yàn)?/span>BP的長因點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)而改變，可先求BP長度的范圍．由垂線段最短可知，當(dāng)BP垂直MN時(shí)，BP最短，求得的BP代入CP=BP-BC求CP的最小值；由于BM>BN，所以點(diǎn)P與M重合時(shí)，BP=BM最長，代入CP=BP+BC求CP的最大值．

（1）作AH⊥OB，

∵，.

∴H（3,5）

∴AH=3,AH=

∴==

（2）由（1）得A（3,4），又

求得直線AB的解析式為：y=

∵旋轉(zhuǎn)，∴MB=OB=6,

作MC⊥OB，∵AO=BO，

∴∠AOB=∠ABO

∴MC=MBsin∠ABO=6×=

即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入直線AB得x=

∴，

∵∠NMB=∠AOB=∠ABO

∴MN∥OB，又MN=AB=5，

則+5=

∴

（3）連接BP

∵點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，OA的對應(yīng)邊為MN

∴點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以B為圓心，BP長為半徑的圓

∵C在OB上,且CB=OB=3

∴當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí),CP=BPBC最短;當(dāng)點(diǎn)P在線段OB延長線上時(shí),CP=BP+BC最長

如圖3，當(dāng)BP⊥MN時(shí)，BP最短

∵S△NBM=S△ABO，MN=OA=5

∴MNBP=OByA

∴BP= ==

∴CP最小值=3=

當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，BP最大，BP=BM=OB=6

∴CP最大值=6+3=9

∴線段CP長的取值范圍為.