Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延長線于點E，BC=8，AD=3．

（1）求CE的長；

（2）求證：△ABC為等腰三角形．

（3）求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）CE=6；（2）證明見解析；（3）△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為．

【解析】（1）證明AD為△BCE的中位線得到CE=2AD=6；

（2）通過證明△ABD≌△CAD得到AB=AC；

（3）如圖，連接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理計算出AB=5，設(shè)⊙P的半徑為R，⊙Q的半徑為r，在Rt△PBD中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得R=，則PD=，再利用面積法求出r=，即QD=，然后計算PD+QD即可．

詳（1）解：∵AD是邊BC上的中線，

∴BD=CD，

∵CE∥AD，

∴AD為△BCE的中位線，

∴CE=2AD=6；

（2）證明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△CAD，

∴AB=AC，

∴△ABC為等腰三角形．

（3）如圖，連接BP、BQ、CQ，

在Rt△ABD中，AB==5，

設(shè)⊙P的半徑為R，⊙Q的半徑為r，

在Rt△PBD中，（R-3）2+42=R2，解得R=，

∴PD=PA-AD=-3=，

∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，

∴×r×5+×r×8+×r×5=×3×8，解得r=，

即QD=，

∴PQ=PD+QD=+=．

答：△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為．