【題目】如圖,在△ABC中,AD是邊BC上的中線,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延長線于點E,BC=8,AD=3.
(1)求CE的長;
(2)求證:△ABC為等腰三角形.
(3)求△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.
【答案】(1)CE=6;(2)證明見解析;(3)△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為.
【解析】(1)證明AD為△BCE的中位線得到CE=2AD=6;
(2)通過證明△ABD≌△CAD得到AB=AC;
(3)如圖,連接BP、BQ、CQ,先利用勾股定理計算出AB=5,設(shè)⊙P的半徑為R,⊙Q的半徑為r,在Rt△PBD中利用勾股定理得到(R-3)2+42=R2,解得R=,則PD=,再利用面積法求出r=,即QD=,然后計算PD+QD即可.
詳(1)解:∵AD是邊BC上的中線,
∴BD=CD,
∵CE∥AD,
∴AD為△BCE的中位線,
∴CE=2AD=6;
(2)證明:∵BD=CD,∠BAD=∠CAD,AD=AD,
∴△ABD≌△CAD,
∴AB=AC,
∴△ABC為等腰三角形.
(3)如圖,連接BP、BQ、CQ,
在Rt△ABD中,AB==5,
設(shè)⊙P的半徑為R,⊙Q的半徑為r,
在Rt△PBD中,(R-3)2+42=R2,解得R=,
∴PD=PA-AD=-3=,
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC,
∴×r×5+×r×8+×r×5=×3×8,解得r=,
即QD=,
∴PQ=PD+QD=+=.
答:△ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離為.
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【題目】如圖,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF.以下結(jié)論:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°∠ABD;④BD平分∠ADC;⑤∠BDC=∠BAC.其中正確的結(jié)論有__________(填序號)
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【題目】小明在他家里的時鐘上安裝了一個電腦軟件,他設(shè)定當鐘聲在n點鐘響起后,下一次則在(3n﹣1)小時后響起,例如鐘聲第一次在3點鐘響起,那么第2次在(3×3﹣1=8)小時后,也就是11點響起,第3次在(3×11﹣1=32)小時后,即7點響起,以此類推…;現(xiàn)在第1次鐘聲響起時為2點鐘,那么第3次響起時為_____點,第2017次響起時為_____點(如圖鐘表,時間為12小時制).
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3cm,點P在邊AC上以1cm/s的速度從點A向終點C運動,與此同時點Q在邊AB上以同樣的速度從點B向終點A運動,各自到達終點后停止運動,設(shè)運動時間為t(s),則當△APQ是直角三角形時,t的值為( )
A.2sB.4sC.2s或4sD.2s或4.5s
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4cm,動點P從A點出發(fā),在正方形的邊上沿A→B→C→D運動,設(shè)運動的時間為t(s),△APD的面積為S(cm2),S與t的函數(shù)圖象如圖所示,請回答下列問題:
(1)點P在AB上運動時間為 s,在CD上運動的速度為 cm/s,△APD的面積S的最大值為 cm2;
(2)將S與t之間的函數(shù)關(guān)系式補充完整S=;
(3)請求出運動時間t為幾秒時,△APD的面積為6cm2.
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【題目】如圖,點M、N分別是正五邊形ABCDE的邊BC、CD上的點,且BM=CN,AM交BN于點P.
(1)求證:△ABM≌△BCN;
(2)求∠APN的度數(shù).
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【題目】如圖, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=α.
(1)當α=60°, 如圖則,∠DPE的度數(shù)______________
(2)若△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖所示,求∠DPE(用α表示)
(3)當α=90°,其他條件不變,F為AD的中點,求證 :EC ⊥ BF
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,動點P從點A出發(fā),沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動.過點P作PD⊥AC于點D(點P不與點A、B重合),作∠DPQ=60°,邊PQ交射線DC于點Q.設(shè)點P的運動時間為t秒.
(1)用含t的代數(shù)式表示線段DC的長;
(2)當點Q與點C重合時,求t的值;
(3)設(shè)△PDQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(4)當線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC一邊中點時,直接寫出t的值.
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【題目】已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=mx+2的圖象經(jīng)過點(﹣2,6).
(1)求m的值;
(2)畫出此函數(shù)的圖象;
(3)平移此函數(shù)的圖象,使得它與兩坐標軸所圍成的圖形的面積為4,請直接寫出此時圖象所對應的函數(shù)關(guān)系式.
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