Question

【題目】已知拋物線C：y=ax2+bx+c（a＜0）過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），A為拋物線C的頂點(diǎn)．
（1）如圖1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；
（2）如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C′，求拋物線C、C′的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)A′為拋物線C′的頂點(diǎn)，求拋物線C或C′上使得PB=PA′的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AB．

∵A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn)，且拋物線C交x軸于O、B，

∴AO=AB，

又∵∠AOB=60°，

∴△ABO是等邊三角形，

過A作AD⊥x軸于D，在Rt△OAD中，

∴OD=2，AD= ，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2， ）

設(shè)拋物線C的解析式為 （a≠0），

將O（0，0）的坐標(biāo)代入，

求得：a=- ，

∴拋物線C的解析式為

（2）解：過A作AE⊥OB于E，

∵拋物線C：y=ax2+bx+c（a＜0）過原點(diǎn)和B（4，0），頂點(diǎn)為A，

∴OE= OB=2，

又∵直線OA的解析式為y=x，

∴AE=OE=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），

將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，

∴a=- ，

∴拋物線C的解析式為 ，

又∵拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴拋物線C′的解析式為

（3）解：作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），

由前可知，拋物線C′的頂點(diǎn)為A′（﹣2，﹣2），

故A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣1）．

作MH⊥x軸于H，

∴△MHN∽△BHM，則MH2=HNHB，即12=（1﹣n）（4﹣1），

∴ ，即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0）．

∵直線l過點(diǎn)M（1，﹣1）、N（ ，0），

∴直線l的解析式為y=﹣3x+2，

，解得 ．

∴在拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，其坐標(biāo)分別為

P1（ ， ），P2（ ， ）；

解 得， ．

∴在拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，其坐標(biāo)分別為

P3（﹣5+ ，17﹣3 ），P4（﹣5﹣ ，17+3 ）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P1（ ， ），P2（ ， ），P3（﹣5+ ，17﹣3 ），P4（﹣5﹣ ，17+3 ）．

【解析】（1）先連接AB，根據(jù)A點(diǎn)是拋物線C的頂點(diǎn)，且C交x軸于O、B，得出AO=AB，再根據(jù)∠AOB=60°，得出△ABO是等邊三角形，再過A作AE⊥x軸于E，在Rt△OAE中，求出OD、AE的值，即可求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后設(shè)拋物線C的解析式，求出a的值，從而得出拋物線C的解析式；（2）先過A作AE⊥OB于E，根據(jù)題意得出OE= OB=2，再根據(jù)直線OA的解析式為y=x，得出AE=OE=2，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將A、B、O的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出拋物線C的解析式，再根據(jù)拋物線C、C′關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而得出拋物線C′的解析式；（3）先作A′B的垂直平分線l，分別交A′B、x軸于M、N（n，0），由（2）知，拋物線C′的頂點(diǎn)為A′（﹣2，﹣2），得出A′B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，再作MH⊥x軸于H，得出△MHN∽△BHM，則MH2=HNHB，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)直線l過點(diǎn)M（1，﹣1）、N（ ，0），得出直線l的解析式，求出x的值，再根據(jù)拋物線C上存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，從而得出P1 ， P2坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線C′上也存在兩點(diǎn)使得PB=PA'，得出P3 ， P4的坐標(biāo)，即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．