【題目】如圖,拋物線(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,已知B點坐標為(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)試探究△ABC的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標;
(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點,求△MBC的面積的最大值,并求出此時M點的坐標.
【答案】(1);(2)(,0);(3)4,M(2,﹣3).
【解析】試題分析:方法一:
(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù),只需將B點坐標代入解析式中即可.
(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標,然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置,由此確定圓心坐標.
(3)△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面積最大,需要使h取最大值,即點M到直線BC的距離最大,若設一條平行于BC的直線,那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時,該交點就是點M.
方法二:
(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù),只需將B點坐標代入解析式中即可.
(2)通過求出A,B,C三點坐標,利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC,從而求出圓心坐標.
(3)利用三角形面積公式,過M點作x軸垂線,水平底與鉛垂高乘積的一半,得出△MBC的面積函數(shù),從而求出M點.
試題解析:解:方法一:
(1)將B(4,0)代入拋物線的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=,∴拋物線的解析式為: .
(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,即:OC2=OAOB,又:OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,∴△ABC為直角三角形,AB為△ABC外接圓的直徑;
所以該外接圓的圓心為AB的中點,且坐標為:(,0).
(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直線BC的解析式為:y=x﹣2;
設直線l∥BC,則該直線的解析式可表示為:y=x+b,當直線l與拋物線只有一個交點時,可列方程:
x+b=,即: ,且△=0;
∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直線l:y=x﹣4.
所以點M即直線l和拋物線的唯一交點,有: ,解得:
即 M(2,﹣3).
過M點作MN⊥x軸于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
方法二:
(1)將B(4,0)代入拋物線的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=,∴拋物線的解析式為: .
(2)∵y=(x﹣4)(x+1),∴A(﹣1,0),B(4,0).C(0,﹣2),∴KAC= =﹣2,KBC= =,∴KAC×KBC=﹣1,∴AC⊥BC,∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形,△ABC的外接圓的圓心是AB的中點,△ABC的外接圓的圓心坐標為(,0).
(3)過點M作x軸的垂線交BC′于H,∵B(4,0),C(0,﹣2),∴lBC:y=x﹣2,設H(t, t﹣2),M(t, ),∴S△MBC=×(HY﹣MY)(BX﹣CX)=×(t﹣2﹣)(4﹣0)=﹣t2+4t,∴當t=2時,S有最大值4,∴M(2,﹣3).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列四幅圖象近似刻畫兩個變量之間的關(guān)系,請按圖象順序?qū)⑾旅嫠姆N情景與之對應排序( )
①一輛汽車在公路上勻速行駛(汽車行駛的路程與時間的關(guān)系)
②向錐形瓶中勻速注水(水面的高度與注水時間的關(guān)系)
③將常溫下的溫度計插入一杯熱水中(溫度計的讀數(shù)與時間的關(guān)系)
④一杯越來越?jīng)龅乃?/span>(水溫與時間的關(guān)系)
A. ③②④①B. ③④②①C. ①④②③D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】把自然數(shù)按如圖的次序排列在直角坐標系中,每個點坐標就對應著一個自然數(shù),例如點(0,0)對應的自然數(shù)是1,點(1,2)對應的自然數(shù)是14,那么點(1,4)對應的自然數(shù)是____;點(n,n)對應的自然數(shù)是____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地某月1~20日中午12時的氣溫(單位:℃)如下:
22 31 25 15 18 23 21 20 27 17 20 12 18 21 21 16 20 24 26 19
(1)將下列頻數(shù)分布表補充完整:
氣溫分組 | 劃記 | 頻數(shù) |
12≤x<17 | 3 | |
17≤x<22 | 10 | |
22≤x<27 | 5 | |
27≤x<32 | 2 |
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)根據(jù)頻數(shù)分布表或頻數(shù)分布直方圖,分析數(shù)據(jù)的分布情況.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.動點P、Q分別從點A、B同時開始移動,點P的速度為1 cm/秒,點Q的速度為2 cm/秒,點Q移動到點C后停止,點P也隨之停止運動下列時間瞬間中,能使△PBQ的面積為15cm 的是( )
A. 2秒鐘 B. 3秒鐘 C. 4秒鐘 D. 5秒鐘
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…都是等腰直角三角形,其直角頂點P1(3,3),P2,P3,…均在直線y=﹣x+4上,設△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…的面積分別為S1,S2,S3,…依據(jù)圖形所反映的規(guī)律,S2019=_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】【題目】如圖,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與y軸交于C點,過點A作AH⊥y軸,垂足為H,OH=3,tan∠AOH=,點B的坐標為(m,-2).
(1)求△AHO的周長;
(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點A,點A在第四象限.過點A做AH⊥x軸,垂足為點H,點A的橫坐標為3,且△AOH的面積為4.5.
(1)求該正比例函數(shù)的解析式;
(2)在x軸上是否存在一點P,使△AOP的面積為6?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,海面上B,C兩島分別位于A島的正東和正北方向.一艘船從A島出發(fā),以18海里/時的速度向正北方向航行2小時到達C島,此時測得B島在C島的南偏東43°.求A,B兩島之間的距離.(結(jié)果精確到0.1海里)(參考數(shù)據(jù):sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)
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