Question

【題目】如圖1，在銳角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°

（1）計(jì)算：求BC的長；

（2）操作：將圖1中的△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．如圖2，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線上時(shí)．

①求∠CC1A1的度數(shù)；

②求四邊形A1BCC1的面積；

（3）探究：如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得到的△A1BC1中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）BC＝7（2）①∠CC1A＝90°；②；（3）①最小值為﹣；最大值為：EP1＝BC+BE＝+7＝．

【解析】

（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，CH，BH即可解決問題．

（2）①利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問題即可．

②根據(jù)＝計(jì)算即可．

（3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最�。虎诋�(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值．

解：（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵∠C＝45°，AC＝4，∠AHC＝90°，

∴AH＝CH＝4，

∵AB＝5，AH＝4，

∴BH＝＝3，

∴BC＝BH+CH＝3+4＝7．

（2）①如圖2中，

∵BC＝BC1，

∴∠BC1C＝∠C＝45°，

∵∠A1C1B＝∠C＝45°，

∴∠CC1A＝45°+45°＝90°．

②＝＝×7×4+×7×7＝．

（3）①如圖3，過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形，

∴點(diǎn)D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝，

當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)，BP與AC垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣；

②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1＝BC+BE＝+7＝．