Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．

（1）求證：AE=BC；

（2）如圖（2），過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，連結(jié)CE′，BF′，求證：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°。

又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°。

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°。∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C。

∴AE=BE，BE=BC。∴AE=BC。

（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中， ，

∴△CAE′≌△BAF′。∴CE′=BF′。

（3）存在CE′∥AB。

由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，E點(diǎn)經(jīng)過的路徑（圓�。┡c過點(diǎn)C且與AB平行的直線l交于M、N兩點(diǎn)，

如圖：①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°。

∴α=∠CAM=36°。

②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°。

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°。

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°。

∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時(shí)，CE′∥AB。

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可；（3）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形，②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，求出α即可．

試題解析：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=36°，

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，

∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，

∴AE=BE，BE=BC，

∴AE=BC．

（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，

∴AE=AF；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中

，

∴△CAE′≌△BAF′，

∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，

理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，E點(diǎn)經(jīng)過的路徑（圓弧）與過點(diǎn)C且與AB平行的直線l交于M、N兩點(diǎn)，

如圖：①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°．

②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．

所以，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時(shí)，CE′∥AB．