Question

【題目】如圖，中，，，.點(diǎn)從點(diǎn) 出發(fā)，沿著運(yùn)動，速度為個單位/，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，以為圓心的圓始終與斜邊相切,設(shè)⊙的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為（）（）.

（1）當(dāng)時(shí)， ；（用含的式子表示）

（2）求與的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在⊙P運(yùn)動過程中，當(dāng)⊙P與三角形ABC的另一邊也相切時(shí)，直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）7-t（2）（3）

【解析】

（1）先判斷出點(diǎn)P在BC上，即可得出結(jié)論；

（2）分點(diǎn)P在邊AC和BC上兩種情況：利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論；

（3）分點(diǎn)P在邊AC和BC上兩種情況：借助（2）求出的圓P的半徑等于PC，建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）∵AC=4，BC=3，∴AC+BC=7．

∵4＜t＜7，∴點(diǎn)P在邊BC上，∴BP=7﹣t．

故答案為：7﹣t；

（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根據(jù)勾股定理得：AB=5，由運(yùn)動知，AP=t，分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，即：0＜t≤4，如圖1，記⊙P與邊AB的切點(diǎn)為H，連接PH，∴∠AHP=90°=∠ACB．

∵∠A=∠A，∴△APH∽△ACB，∴，∴，∴PHt，∴Sπt2；

②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，即：4＜t＜7，如圖，記⊙P與邊AB的切點(diǎn)為G，連接PG，∴∠BGP=90°=∠C．

∵∠B=∠B，∴△BGP∽△BCA，∴，∴，∴PG（7﹣t），∴Sπ（7﹣t）2．

綜上所述：S；

（3）分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，即：0＜t≤4，由（2）知，⊙P的半徑PHt．

∵⊙P與△ABC的另一邊相切，即：⊙P和邊BC相切，∴PC=PH．

∵PC=4﹣t，∴4﹣tt，∴t秒；

②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，即：4＜t＜7，由（2）知，⊙P的半徑PG（7﹣t）．

∵⊙P與△ABC的另一邊相切，即：⊙P和邊AC相切，∴PC=PG．

∵PC=t﹣4，∴t﹣4（7﹣t），∴t秒．

綜上所述：在⊙P運(yùn)動過程中，當(dāng)⊙P與三角形ABC的另一邊也相切時(shí)，t的值為秒或秒．