【題目】如圖,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標系中,A,B兩點坐標分別為(3,0)和(0,3 ).動點PA點開始沿折線AO﹣OB﹣BA運動,點PAO,OB,BA上運動,速度分別為1,,2(長度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣lx軸的位置開始以(長度單位/秒)的速度向上平行移動(即移動過程中保持l∥x軸),且分別與OB,AB交于E,F(xiàn)兩點﹒設動點P與動直線l同時出發(fā),運動時間為t秒,當點P沿折線AO﹣OB﹣BA運動一周時,直線l和動點P同時停止運動.

請解答下列問題:

(1)過A,B兩點的直線解析式是   ,∠BAO=   

(2)當t﹦4時,點P的坐標為   ;當t﹦   ,點P與點E重合;

(3)作點P關于直線EF的對稱點P′.在運動過程中,若形成的四邊形PEP′F為菱形,則t的值是多少?

【答案】(1)y=﹣x+3;60°;(2)(0,);;(3).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式,根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求得∠BAO的度數(shù);

(2)根據(jù)點P的運動路線,以及點P在不同階段的運動速度,即可求得;

(3)分三種情況點P在線段OA上,在線段OB上,在線段AB上結合菱形的判定分別進行討論即可得.

(1)設過A,B兩點的直線解析式是y=kx+b,則有

,

解得,,

∴直線AB解析式是y=﹣x+3,

∵∠B=30°,

∴∠BAO=90°-30°=60°,

故答案為:y=﹣x+;60°;

(2)當t﹦4時,OP=(4﹣3)×=,

∴點P的坐標為(0,);

當點P與點E重合時,(t﹣3)×=t,

解得,t=

t=,點P與點E重合;

故答案為:(0,);;

(3)①當點P在線段AO上時,過FFGx軸,G為垂足(如圖1)

OE=FG,EP=FP,EOP=FGP=90°,

∴△EOP≌△FGP(SAS),

OP=PG,

又∵OE=FG=t,A=60°,

AG=FGtan60°=t;

AP=t,

OP=3﹣t,PG=AP﹣AG=t,

3﹣t=t,得t=;

當點P在線段OB上時,形成的是三角形,不存在菱形;

當點P在線段BA上時,

PPHEF,PMOB,H、M分別為垂足(如圖2),則四邊形PMEH是矩形,

PM=EH.

∵四邊形PEP'F是菱形,

EH=FH.

OE=t,

BE=3t,

EF=BEtan60°=3﹣

MP=EH=EF=,又BP=2(t﹣6),

RtBMP中,BPcos60°=MP

2(t﹣6)=,

解得t=

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