【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中點A坐標(biāo)為(2,﹣4),以A為頂點的拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點交x軸于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)取線段AB上一點D,以BD為直徑作⊙C交x軸于點E,作EF⊥AO于點F,
求證:EF是⊙C的切線;
(3)設(shè)⊙C的半徑為r,EF=m,求m與r的函數(shù)關(guān)系式及自變量r的取值范圍.
【答案】(1)y=x2﹣4x;(2)證明見解析;(3) .
【解析】
(1)結(jié)合已知條件可以知道拋物線經(jīng)過A(2,-4),O(0,0),代入解析式,即可求出拋物線的解析式;
(2)連接CE,只要求證CE∥AO,結(jié)合已知推出EF⊥CE,即可求證出結(jié)論;
(3)作AH⊥OB于H點,結(jié)合勾股定理和拋物線的性質(zhì)求出個線段的長度,根據(jù)平行線的性質(zhì),寫出比例式,求出半徑CB的長度
(1)設(shè)y=a(x﹣2)2﹣4,把O(0,0)代入,得4a﹣4=0,
∴a=1,
∴y=(x﹣2)2﹣4=y=x2﹣4x;
(2)連接CE,
∴CE=CB
∴∠CEB=∠CBE
∵拋物線有對稱性
∴AO=AB
∴∠AOB=∠OBA
∴∠AOB=∠CEB
∴CE∥AO
∵EF⊥AO
∴EF⊥CE
∴EF是⊙C的切線
(3)作AH⊥OB于H,∴OH=HB=2,AH=4,AO=AB=
∴sin∠AOB=sin∠ABO=
在RT△EFO中,EF=OEsin∠BOA=
由(2)CE∥OA,∴△BEC∽△BOA,
∴,即
∴BE=
∴OE=OB﹣EB=
∴
即:,
∴0<r<.
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【題目】如圖,點P是菱形ABCD邊上的一動點,它從點A出發(fā)沿著A→B→C→D路徑勻速運動到點D,設(shè)△PAD的面積為y,P點的運動時間為x,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,將邊長為3的正方形紙片ABCD對折,使AB與DC重合,折痕為EF,展平后,再將點B折到邊CD上,使邊AB經(jīng)過點E,折痕為GH,點B的對應(yīng)點為M,點A的對應(yīng)點為N,那么折痕GH的長為_____.
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【題目】如圖,彈性小球從點P(0,3)出發(fā),沿所示方向運動,每當(dāng)小球碰到矩形OABC的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角,當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時的點為P1,第2次碰到矩形的邊時的點為P2,…,第n次碰到矩形的邊時的點為Pn,則點P2的坐標(biāo)是_____,點P2017的坐標(biāo)是_____.
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【題目】已知:△AOB和△COD均為等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,AO=4,CO=2,接連接AD,BC、點H為BC中點,連接OH.
(1)如圖1所示,求證:OH=AD且OH⊥AD;
(2)將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時,線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系,證明你的結(jié)論;
(3)請直接寫出線段OH的取值范圍.
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【題目】已知四邊形ABCD是邊長為10的菱形,對角線AC、BD相交于點E,過點C作CF∥DB交AB延長線于點F,聯(lián)結(jié)EF交BC于點H.
(1)如圖1,當(dāng)EF⊥BC時,求AE的長;
(2)如圖2,以EF為直徑作⊙O,⊙O經(jīng)過點C交邊CD于點G(點C、G不重合),設(shè)AE的長為x,EH的長為y;
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
②聯(lián)結(jié)EG,當(dāng)△DEG是以DG為腰的等腰三角形時,求AE的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA,OC分別在x軸和y軸上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn),使點A恰好落在BC邊上的A1處,則點C的對應(yīng)點C1的坐標(biāo)為( 。
A. (﹣) B. (﹣) C. (﹣) D. (﹣)
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【題目】如圖1,已知水龍頭噴水的初始速度v0可以分解為橫向初始速度vx和縱向初始速度vy,θ是水龍頭的仰角,且.圖2是一個建在斜坡上的花圃場地的截面示意圖,水龍頭的噴射點A在山坡的坡頂上(噴射點離地面高度忽略不計),坡頂?shù)你U直高度OA為15米,山坡的坡比為.離開水龍頭后的水(看成點)獲得初始速度v0米/秒后的運動路徑可以看作是拋物線,點M是運動過程中的某一位置.忽略空氣阻力,實驗表明:M與A的高度之差d(米)與噴出時間t(秒)的關(guān)系為;M與A的水平距離為米.已知該水流的初始速度為15米/秒,水龍頭的仰角θ為.
(1)求水流的橫向初始速度vx和縱向初始速度vy;
(2)用含t的代數(shù)式表示點M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y,并求y與x的關(guān)系式(不寫x的取值范圍);
(3)水流在山坡上的落點C離噴射點A的水平距離是多少米?若要使水流恰好噴射到坡腳B處的小樹,在相同仰角下,則需要把噴射點A沿坡面AB方向移動多少米?
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【題目】美麗的黃河宛如一條玉帶穿城而過,沿河兩岸的濱河路風(fēng)情線是蘭州最美的景觀之一.?dāng)?shù)學(xué)課外實踐活動中,小林在南濱河路上的A,B兩點處,利用測角儀分別對北岸的一觀景亭D進行了測量.如圖,測得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=132米,求觀景亭D到南濱河路AC的距離(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14).
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