Question

2．如圖，已知點A（1，2）是函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上的點，連接0A作0A⊥0B，與圖象y=$\frac{-6}{x}$（x＞0）交于點B．
（1）求點B的坐標；
（2）求OA：OB的值．

Answer 1

分析 （1）過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，于是得到△AOC∽△BOD，設B（m，-$\frac{6}{m}$），得到OD=$\frac{6}{m}$，BD=m，根據(jù)A（1，2），得到AC=1，OC=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論．

解答 解：（1）過A作AC⊥y軸于C，過B作BD⊥y軸于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{OD}=\frac{OC}{BD}$，
∵設B（m，-$\frac{6}{m}$），
∴OD=$\frac{6}{m}$，BD=m，
∵A（1，2），
∴AC=1，OC=2，
∴$\frac{1}{\frac{6}{m}}=\frac{2}{m}$，
∴m=±2$\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=2$\sqrt{3}$，
∴B（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）；

（2）∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．