Question

8．如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB（或BA）延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，MN⊥DM且與∠ABC外角的平分線交于點(diǎn)N，此時(shí)MD與MN有何數(shù)量關(guān)系？并加以證明．

Answer 1

分析 結(jié)論：DM=MN．延長(zhǎng)AD使得DH=BM，只要證明△DHM≌△MBN即可解決問(wèn)題．

解答 結(jié)論：DM=MN．
證明：延長(zhǎng)AD使得DH=BM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴AH=AM，∠H=∠AMH=45°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，
∴∠NBM=∠H=45°，
∵∠NME+∠AMD=90°，∠AMD+∠ADM=90°，
∴∠ADM=∠NME，
∴∠HDM=∠NMB，
在△DHM和△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠NBM}\\{∠HDN=∠NMB}\\{DH=BM}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形性質(zhì)．全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)添加輔助線的方法，屬于中考�？碱}型．