Question

12．如圖，在正方形ABCD中，取AD、CD邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，BF交于點(diǎn)G，連接AG．證明：AG=AB．

Answer 1

分析 如圖，連接EB，先證明△DEC≌△CFB，△AEB≌CFB，得∠DEC=∠CFB，∠AEB=∠BFC，由∠DEC+∠DCE=90°，∠CFB+∠DCE=90°推出∠FGC=∠EGB=90°，再證明A、B、G、E四點(diǎn)共圓，得∠AGB=∠AEB，由此可以證明∠AGB=∠ABG．

解答 證明：如圖，連接EB．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=CD，∠D=∠DAB=∠ABC=∠BCF=90°，
∵AE=DE，DF=FC，
∴AE=DE=DF=FC
在△DEC和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠D=∠BCF}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△CFB，
同理△AEB≌CFB，
∴∠DEC=∠CFB，∠AEB=∠BFC
∵∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠CFB+∠DCE=90°
∴∠FGC=∠EGB=90°，
∴∠EAB+∠EGB=180°，
∴A、B、G、E四點(diǎn)共圓，
∴∠AGB=∠AEB=∠BFC，
∵CD∥AB，
∴∠BFC=∠FBA，
∴∠AGB=∠ABG，
∴AG=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是四點(diǎn)共圓的發(fā)現(xiàn)，為證明角相等提供了方便，屬于中考常考題型．