Question

已知直線L經(jīng)過點(diǎn)（4，0），且與x軸、y軸所圍成的直角三角形的面積等于8，如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過直線L與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以直線x=3為對(duì)稱軸，且開口向下，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)直線L與x軸、y軸所圍成的直角三角形的面積等于8可確定直線L與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）或（0，4），再利用對(duì)稱性確定拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），然后設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）（x-4），再把（0，-4）和（0，4）分別代入求出對(duì)應(yīng)的a的值，然后得到滿足條件的二次函數(shù)解析式．

解答：解：設(shè)直線L與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），
∵

1

2

×4×|t|=8，即得t=4或-4，
∴直線L與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）或（0，4），
∵直線x=3為拋物線的對(duì)稱軸，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）（x-4），
把（0，-4）代入得-4=8a，解得a=-

1

2

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

（x-2）（x-4）=-

1

2

x²+3x-4；
把（0，4）代入得4=8a，解得a=

1

2

，此時(shí)拋物線開口向上，不合題意舍去，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x²+3x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．