【題目】綜合與探究:
如圖在等邊三角形ABC中,線段AM為BC邊上的中線,動點D在直線AM上時,以CD為一邊在CD的下方作等邊三角形CDE,連接BE.
(1)填空:∠CAM= ;
(2)若點D在線段AM上時,求證:△ADC≌△BEC;
(3)當(dāng)動點D在直線AM上時,設(shè)直線BE與直線AM的交點為O,
①當(dāng)點D在線段AM上時,求∠AOB的度數(shù);
②當(dāng)動點D在直線AM上時,試判斷∠AOB是否為定值?并說明理由.
【答案】(1)30°;(2)詳見解析;(3)①60°;②∠AOB是定值,∠AOB=60°,理由詳見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=AC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性質(zhì)就可以∠BCE=∠ACD,根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC;
(3)①由(2)可知△ACD≌△BCE,則∠CBE=∠CAD=30°,由等邊三角形的性質(zhì)得出AM⊥BC,即可得出答案;
②分情況討論,當(dāng)點D在線段AM上時,由①得:∠AOB=60°;
當(dāng)點D在線段AM的延長線上時,證明△ACD≌△BCE(SAS),得出∠CBE=∠CAD=30°即可得出答案;
當(dāng)點D在線段MA的延長線上時,證明△ACD≌△BCE(SAS),得出∠CBE=∠CAD,同理得出∠CAM=30°,求出∠CBE=∠CAD=150°,得出∠CBO=30°,即可得出答案.
(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=60°,
∵線段AM為BC邊上的中線,
∴∠CAM=∠BAC,
∴∠CAM=30°,
故答案為:30°;
(2)證明:∵△ABC與△DEC都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ADC和△BEC中,,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(3)①當(dāng)點D在線段AM上時,如圖1所示:
由(2)可知△ACD≌△BCE,則∠CBE=∠CAD=30°,
∵△ABC是等邊三角形,線段AM為BC邊上的中線
∴AM⊥BC,
∴∠BMO=90°,
∴∠AOB=90°﹣∠CBE=90°﹣30°=60°;
②∠AOB是定值,∠AOB=60°,理由如下:
當(dāng)點D在線段AM上時,由①得:∠AOB=60°;
當(dāng)點D在線段AM的延長線上時,如圖2所示:
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD=30°,
∴∠AOB=90°﹣∠CBE=90°﹣30°=60°;
當(dāng)點D在線段MA的延長線上時,如圖3所示:
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CBE=∠CAD,
同理可得:∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°,
∴∠AOB=90°﹣∠CBO=90°﹣30°=60°;
綜上所述,當(dāng)動點D在直線AM上時,∠AOB是定值,∠AOB=60°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的頂點分別為A(2,4),B(﹣2,2),C(3,1).
(1)作出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△DEF,寫出頂點D、E、F的坐標(biāo).
(2)如果點H(3m﹣1,n﹣6)與點H′(2n+7,3m﹣9)關(guān)于y軸對稱,求m,n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關(guān)注,東營市某中學(xué)對部分學(xué)生就校園安全知識的了解程度,采用隨機抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有_______人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角為_______°;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學(xué)共有學(xué)生900人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該中學(xué)學(xué)生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ.以下五個結(jié)論:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP; ⑤∠AOB=60°.
其中正確的結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以點B為圓心,適當(dāng)長為半徑的畫弧,分別交BA,BC于點M、N;再分別以點M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線BP交AC于點D,則下列說法中不正確的是()
A. BP是∠ABC的平分線B. AD=BDC. D. CD=BD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司購進一種商品的成本為30元/kg,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),這種商品在未來90天的銷售單價p(元/kg)與時間t(天)之間的相關(guān)信息如圖,銷售量y(kg)與時間t(天)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,且對應(yīng)數(shù)據(jù)如表,設(shè)第t天銷售利潤為w(元)
時間t(天) | 10 | 30 |
每天的銷售量 y(kg) | 180 | 140 |
(1)分別求出售單價p(元/kg)、銷售量y(kg)與時間t(天)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問:銷售該商品第幾天時,當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】行駛中的汽車,在剎車后由于慣性的作用,還要向前方滑行一段距離才能停止,這段距離稱為“剎車距離”,為了測定某種型號的汽車的剎車性能(車速不超過140 km/h),對這種汽車進行測試,測得數(shù)據(jù)如下表:
剎車時車速/km·h-1 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
剎車距離/m | 0 | 0.3 | 1.0 | 2.1 | 3.6 | 5.5 | 7.8 |
(1)以車速為x軸,以剎車距離為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)上表對應(yīng)值作出函數(shù)的大致圖象;
(2)觀察圖象.估計函數(shù)的類型,并確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的函數(shù)解析式;
(3)該型號汽車在國道發(fā)生了一次交通事故,現(xiàn)場測得剎車距離為46.5 m,推測剎車時的車速是多少?請問事故發(fā)生時,汽車是超速行駛還是正常行駛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.
(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF
(2)若∠AEC=105°,求∠BCF的度數(shù).
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