Question

【題目】已知：如圖，ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．

【1】求證：∠DAC ＝∠DBA；

【2】求證：是線段AF的中點(diǎn)

【3】若⊙O 的半徑為5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．

Answer 1

【答案】

【1】∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA

∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD

∴∠DAC ＝∠DBA (2分)

【2】∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°

又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°

∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP

∴PD＝PA

又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC

∴∠PDF＝∠PFD

∴PD＝PF ∴PA＝ PF 即P是線段AF的中點(diǎn) （3分）

【3】∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB

∴

∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝ （3分）

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；

（2）首先得出∠ADB=90，再根據(jù)∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，從而得出PA=PF；

（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．