Question

14．如圖，已知在矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)O作AC的垂線(xiàn)，分別交射線(xiàn)AD和CB于點(diǎn)E、F，交邊DC于點(diǎn)G，交邊AB于點(diǎn)H．聯(lián)結(jié)AF，CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）如果OF=2GO，求證：GO²=DG•GC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠EAC=∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=CF，OE=OF，推出四邊形AFCE是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EG}{DG}=\frac{CG}{GO}$，等量代換求得結(jié)論；

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACF，
在△EOA和△FOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠ACF}\\{OA=OF}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△FOC，
∴AE=CF，OE=OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形；
（2）∵∠EDG=∠COG=90°，∠EGD=∠CGO，
∴△EGD∽△CGO，
∴$\frac{EG}{DG}=\frac{CG}{GO}$，
∵OF=2GO，
∴EG=GO，
∴GO²=DG•GC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．