Question

19．問(wèn)題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空：△EFC的面積S₁=9，△ADE的面積S₂=1．
探究發(fā)現(xiàn)（2）在（1）中，若BF=m，F(xiàn)C=n，DE與BC間的距離為h．請(qǐng)證明S²=4S₁S₂．
拓展遷移（3）如圖2，?DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為3、7、5，試?yán)�用�?）中的結(jié)論求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）△EFC的面積利用底×高的一半計(jì)算；△ADE的面積，可以先過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)可求AG，再利用三角形的面積公式計(jì)算即可；
（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四邊形DBFE是平行四邊形，同時(shí)，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，從而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得S₁：S₂=n²：m²，由于S₁=$\frac{1}{2}$nh，那么可求S₂，從而易求4S₁S₂，又S=mh，容易證出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，容易證出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面積等于8，再利用（2）中的結(jié)論，可求?DBHG的面積，從而可求△ABC的面積．

解答 （1）解：S₁=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
過(guò)A作AH⊥BC，交DE于G，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DEFB是平行四邊形，
∴DE=BF=2，
∵DE∥BC，
∴AG⊥DE，△ADE∽△ABC，
∴$\frac{ED}{BC}$=$\frac{AG}{AH}$，
∴$\frac{2}{8}$=$\frac{AG}{AG+3}$，
解得：AG=1，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×DE×AG=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
故答案為：9；1；

（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DBFE為平行四邊形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=（$\frac{DE}{FC}$）²=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$，
∵S₁=$\frac{1}{2}$nh，
∴S₂=$\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}}$×S₁=$\frac{{m}^{2}h}{2n}$，
∴4S₁S₂=4×$\frac{1}{2}$nh×$\frac{{m}^{2}h}{2n}$=（mh）²，
而S=mh，
∴S²=4S₁S₂；

（3）解：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG=EF，
∴BH=EF，
∴BE=HF，
在△DBE和△GHF中$\left\{\begin{array}{l}{DB=GH}\\{∠B=∠GHF}\\{BE=HF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△GHF（SAS），
∴△GHC的面積為7+5=12，
由（2）得，平行四邊形DBHG的面積S為$\sqrt{4×3×12}$=12，
∴△ABC的面積為3+12+12=27．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是正確掌握平行四邊形對(duì)邊相等，相似三角形面積之比等于相似比的平方．