【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)D在⊙O上,AC平分∠BAD,延長AB到點(diǎn)E且有∠BCE=∠CAD.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AB=10,AD=6,求BC,CE的長.
【答案】(1)見解析;(2),
【解析】
(1)連接OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2,根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°,根據(jù)角平分線的定義得到∠3=∠CAD,求得CE⊥OC,于是得到結(jié)論;
(2)連接CD,分別延長AD、BC相交于點(diǎn)F.根據(jù)三角形的內(nèi)角得到∠3=∠CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,設(shè)BC=x,求得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)證明:連接OC,
∵在⊙O中OB=OC,
∴∠1=∠2,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AC平分∠BAD,
∴∠3=∠CAD,
∵∠BCE=∠CAD,
∴∠3=∠CAD,
∴∠OCE=∠BCE+∠2=∠3+∠1=90°,
∴CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切線;
(2)解:連接CD,分別延長AD、BC相交于點(diǎn)F.
在Rt△ACB中,∠1=90°﹣∠3,
在Rt△ACF中,∠F=90°﹣∠CAD,
又∵∠3=∠CAD,
∴∠1=∠F,
∴在△ABF中,AB=AF,
∴BC=CF,
∵在⊙O中∠3=∠CAD,
∴BC=CD,
∴CD=CF,
∴在△CDF中,∠CDF=∠F,
∴∠1=∠CDF,
又∵∠F=∠F,
∴△CDF∽△ABF,
∴,
設(shè)BC=x,則有,
∴,
即,
在Rt△ACB中,,
∵在△BEC和△DAC中,∠BCE=∠CAD,∠EBC=∠ADC,
∴△BEC∽△DCA,
∴,
則,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某天上午7:30,小芳在家通過滴滴打車軟件打車前往動車站搭乘當(dāng)天上午8:30的動車.記汽車的行駛時(shí)間為t小時(shí),行駛速度為v千米/小時(shí)(汽車行駛速度不超過60千米/小時(shí)).根據(jù)經(jīng)驗(yàn),v,t的一組對應(yīng)值如下表:
V(千米/小時(shí)) | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
T(小時(shí)) | 0.6 | 0.4 | 0.3 | 0.25 | 0.2 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)描點(diǎn),求出平均速度v(千米/小時(shí))關(guān)于行駛時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若小芳從開始打車到上車用了10分鐘,小芳想在動車出發(fā)前半小時(shí)到達(dá)動車站,若汽車的平均速度為32千米/小時(shí),小芳能否在預(yù)定的時(shí)間內(nèi)到達(dá)動車站?請說明理由;
(3)若汽車到達(dá)動車站的行駛時(shí)間t滿足0.3<t<0.5,求平均速度v的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).
(1)點(diǎn)P是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥BC交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作EP∥y軸交BC于點(diǎn)E.點(diǎn)MN是直線BC上兩個(gè)動點(diǎn)且MN=AO(xM<xN).當(dāng)DE長度最大時(shí),求PM+MN﹣BN的最小值.
(2)將點(diǎn)A向左移動3個(gè)單位得點(diǎn)G,△GOC延直線BC平移運(yùn)動得到三角形△G'O′C'(兩三角形可重合),則在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G',使得△G′BC為等腰三角形,若存在,直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)G′的坐標(biāo),若不存在請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游,推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):
某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游,共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元,請問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O且半徑為3的圓上的動點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)B(4,0)作直線l⊥x軸,點(diǎn)P是直線l上的動點(diǎn),若∠OPA=45°,則△BOP的面積的最大值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市2012年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示,2012年該市新開工的住房有商品房、廉租房、經(jīng)濟(jì)適用房和公共租賃房四種類型.老王對這四種新開工的住房套數(shù)和比例進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成下面兩幅統(tǒng)計(jì)圖,請你結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
(1)求經(jīng)濟(jì)適用房的套數(shù),并補(bǔ)全圖1;
(2)假如申請購買經(jīng)濟(jì)適用房的對象中共有950人符合購買條件,老王是其中之一.由于購買人數(shù)超過房子套數(shù),購買者必須通過電腦搖號產(chǎn)生.如果對2012年新開工的經(jīng)濟(jì)適用房進(jìn)行電腦搖號,那么老王被搖中的概率是多少?
(3)如果計(jì)劃2014年新開工廉租房建設(shè)的套數(shù)要達(dá)到720套,那么2013~2014這兩年新開工廉租房的套數(shù)的年平均增長率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形A1B1C2C1,A2B2C3C2,A3B3C4C3按如圖所示的方式放置,點(diǎn)A1、A2、A3和點(diǎn)C1、C2、C3、C4分別在拋物線y=x2和y軸上,若點(diǎn)C1(0,1),則正方形A3B3C4C3的面積是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,,是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),連接,點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),連接,.
(1)求,的值;
(2)求所在直線的表達(dá)式;
(3)求的面積.
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