Question

【題目】已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于H點(diǎn)，分別以OC、OA為邊作矩形AECO．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖2，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)四邊形AOCP面積最大時(shí)，求|PM﹣OM|的最大值．

（3）如圖3，將△AOC沿直線AC翻折得△ACD，再將△ACD沿著直線AC平移得△A'C′D'．使得點(diǎn)A′、C'在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)D′，使得△A′ED′為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x+2；(2) 點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，）時(shí)，四邊形AOCP的面積最大，此時(shí)|PM﹣OM|有最大值； (3)存在，D′坐標(biāo)為：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．

【解析】

（1）令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝2或﹣6，求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，即可求解；

（2）連接OP交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，此時(shí)，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；

（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三種情況利用勾股定理列方程求解即可．

（1）令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函數(shù)對(duì)稱軸為：x＝﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則過(guò)點(diǎn)C的直線表達(dá)式為：y＝kx+2，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式，解得：k，則：直線AC的表達(dá)式為：yx+2；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交AC于點(diǎn)H．

四邊形AOCP面積＝△AOC的面積+△ACP的面積，四邊形AOCP面積最大時(shí)，只需要△ACP的面積最大即可，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m2m+2），則點(diǎn)G坐標(biāo)為（m，m+2），S△ACPPGOA（m2m+2m﹣2）6m2﹣3m，當(dāng)m＝﹣3時(shí)，上式取得最大值，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣3，）．連接OP交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，此時(shí)，|PM﹣OM|有最大值，直線OP的表達(dá)式為：yx，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y，即：點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，），|PM﹣OM|的最大值為：=．

（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，設(shè)：EM＝a，則：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a，則：MC，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N，交EC于點(diǎn)H．在Rt△DMC中，DHMCMDDC，即：DH2，則：DH，HC，即：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）；

設(shè)：△ACD沿著直線AC平移了m個(gè)單位，則：點(diǎn)A′坐標(biāo)（﹣6），點(diǎn)D′坐標(biāo)為（），而點(diǎn)E坐標(biāo)為（﹣6，2），則==36，==，==．若△A′ED′為直角三角形，分三種情況討論：

①當(dāng)+=時(shí)，36+=，解得：m=，此時(shí)D′（）為（0，4）；

②當(dāng)+=時(shí)，36+=，解得：m=，此時(shí)D′（）為（－6，2）；

③當(dāng)+=時(shí)，+=36，解得：m=或m=，此時(shí)D′（）為（－6，2）或（，）．

綜上所述：D坐標(biāo)為：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．