Question

【題目】（1）證明推斷：如圖（1），在正方形中，點，分別在邊，上，于點，點，分別在邊，上，．

①求證：；

②推斷：的值為　 　；

（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，（為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與CP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接，當(dāng)時，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②解：結(jié)論：．理由見解析；（2）結(jié)論：．理由見解析；（3）．

【解析】

（1）①由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DQ．②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題．

（2）結(jié)論：如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問題．

（3）如圖2-1中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問題．

（1）①證明：∵四邊形是正方形，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴≌，

∴．

②解：結(jié)論：．

理由：∵，，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵，

∴，

∴．

故答案為1．

（2）解：結(jié)論：．

理由：如圖2中，作于．

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴∽，

∴，

∵，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴．

（3）解：如圖2﹣1中，作交的延長線于．

∵，，

∴，

∴，

∴可以假設(shè)，，，

∵，，

∴，

∴，

∴或﹣1（舍棄），

∴，，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，，

∴，

∴∽，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴．