【題目】如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng),那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”.

(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”;
(2)如圖在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA= ,求證:△ABC是“好玩三角形”;
(3)如圖2,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=2β,點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s.
①當(dāng)β=45°時(shí),若△APQ是“好玩三角形”,試求 的值;
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi),點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”.請(qǐng)直接寫出tanβ的取值范圍.
(4)(本小題為選做題)
依據(jù)(3)的條件,提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題(“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1)

【答案】
(1)

解:如圖1,①作一條線段AB,

②作線段AB的中點(diǎn)O,

③以點(diǎn)O為圓心,AB為半徑畫圓,

④在圓O上取一點(diǎn)C,連接AC、BC,

∴△ABC是所求作的三角形(點(diǎn)E、F除外)


(2)

解:如圖2,取AC的中點(diǎn)D,連接BD

∵∠C=90°,tanA= ,

∴設(shè)BC= x,則AC=2x,

∵D是AC的中點(diǎn),

∴CD= AC=x

∴BD= = =2x,

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”


(3)

解:①如圖3,當(dāng)β=45°,點(diǎn)P在AB上時(shí),

∴∠ABC=2β=90°,

∴△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,

當(dāng)P在BC上時(shí),連接AC交PQ于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

∵PC=CQ,

∴∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP,

∴△AEF∽△CEP,

∵PE=CE,

(i)當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí),即AE=PQ時(shí),

=2,

,

(ii)當(dāng)腰AP與它的中線QM相等,即AP=QM時(shí),

作QN⊥AP于N,如圖4

∴MN=AN= MP.

∴QN= MN,

∴tan∠APQ= ,

∴tan∠APE= =

=

②由①可知,當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí),有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”,

<tanβ<2時(shí),有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”


(4)

解:由(3)可以知道0<tanβ< ,

則在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2


【解析】(1)先畫一條線段AB,再確定AB的中點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,AB為半徑畫圓,在圓O上取一點(diǎn)C,連接AC、BC,則△ABC是所求作的三角形;
(2)取AC的中點(diǎn)D,連接BD,設(shè)BC= x,根據(jù)條件可以求出AC=2x,由三角函數(shù)可以求出BD=2x,從而得出AC=BD,從而得出結(jié)論;
(3)①當(dāng)β=45°時(shí),分情況討論,P點(diǎn)在AB上時(shí),△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,當(dāng)P在BC上時(shí),延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,可以求出分情況討論,就可以求出 ,再分情況討論就可以求出當(dāng)AE=PQ時(shí), 的值,當(dāng)AP=QM時(shí),可以求出 的值;②根據(jù)①求出的兩個(gè) 的值就可以求出tanβ的取值范圍;
(4)由(3)可以得出0<tanβ< ,△APQ為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2就是真命題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,直線y=kx+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,9)和A(﹣6,m).

(1)求k,m的值;

(2)求△AOB的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線y1=ax2﹣4ax+3(a≠0)與y軸交于點(diǎn)A,A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,直線OB分別與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C.
(1)直接寫出對(duì)稱軸及B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知直線y2=bx﹣4b+3(b≠0)與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D. ①判斷直線y2=bx﹣4b+3(b≠0)是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,并說(shuō)明理由;
②若△BDC的面積為1,求b的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在菱形ABCD中,EF∥AB,對(duì)角線AC交EF于點(diǎn)G,那么與∠BAC相等的角的個(gè)數(shù)有(∠BAC除外)(
A.3個(gè)
B.4個(gè)
C.5個(gè)
D.6個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=﹣ (x<0)的圖象上移動(dòng),連接OA,作OB⊥OA,并滿足∠OAB=30°.在點(diǎn)A的移動(dòng)過(guò)程中,追蹤點(diǎn)B形成的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為(
A.y= (x>0)
B.y= (x>0)
C.y= (x>0)
D.y= (x>0)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】教師運(yùn)動(dòng)會(huì)中,甲,乙兩組教師參加“兩人背夾球”往返跑比賽,即:每組兩名教師用背部夾著球跑完規(guī)定的路程,若途中球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑,用時(shí)少者勝.若距起點(diǎn)的距離用y(米)表示,時(shí)間用x(秒)表示.下圖表示兩組教師比賽過(guò)程中yx的函數(shù)關(guān)系的圖象.根據(jù)圖象,有以下四個(gè)推斷:

①乙組教師獲勝

②乙組教師往返用時(shí)相差2秒

③甲組教師去時(shí)速度為0.5米/秒

④返回時(shí)甲組教師與乙組教師的速度比是2:3

其中合理的是( )

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y= (x<0)的圖象交于點(diǎn)A.與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB,交y軸于點(diǎn)E.己知四邊形ADEC的面積為6.
(1)求k的值;
(2)若AD=3OC,tan∠DAC=2.求點(diǎn)E的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上.
(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.
(2)如圖2,AC:AB=1: ,EF⊥CE,求EF:EG的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在手工制作課上,老師組織七年級(jí)(2)班的學(xué)生用硬紙制作圓柱形茶葉筒.七年級(jí)(2)班共有學(xué)生44人,其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人,并且每名學(xué)生每小時(shí)剪筒身50個(gè)或剪筒底120個(gè).

1)七年級(jí)(2)班有男生、女生各多少人?

2)要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底,為了使每小時(shí)剪出的筒身與筒底剛好配套,應(yīng)該分配多少名學(xué)生剪筒身,多少名學(xué)生剪筒底?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案