Question

已知拋物線y=

1

8

x²+3mx+18m²-m與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，b），O為原點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＞

1

18

，且OA+OB=3OC，求拋物線解析式及A，B，C的坐標(biāo)；
（3）在（2）情形下，點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時出發(fā)（如圖）以相同的速度沿AB、OC向B、C運(yùn)動，連接PQ與BC交于M，設(shè)AP=k，問是否存在k值，使以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求所有k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線y=

1

8

x²+3mx+18m²-m與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，則判別式△＞0，解此不等式即可求出m的取值范圍；
（2）由拋物線與一元二次方程的關(guān)系以及OA+OB=3OC，可求出m的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式及A，B，C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意，當(dāng)以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時，由于點(diǎn)B與點(diǎn)B對應(yīng)，則分兩種情況．①P與A對應(yīng)，②P與C對應(yīng)．對于前一種情形，得到PQ∥AC，運(yùn)用平行線分線段成比例定理可求出k值；對于后一種情形，得到△ABC∽△MBP，運(yùn)用三角函數(shù)的定義及相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出k值．

解答：解：（1）依題意有△=（3m）²-4×

1

8

（18m²-m）=

1

2

m＞0，
∴m＞0；（3分）

（2）∵m＞

1

18

，∴x₁＜0，x₂＜0，
由OA+OB=3•OC，有-x₁-x₂=3（18m²-m），
24m=3（18m²-m），
∴m=0（舍去）或m=

1

2

．
∴y=

1

8

x²+

3

2

x+4．（6分）
∴A（-8，0），B（-4，0），C（0，4）；（7分）

（3）當(dāng)PQ∥AC時，△ABC∽△PBM，
則

AP

PO

=

CQ

QO

即

k

8-k

=

4-k

k

，
∴k=

8

3

（9分）
當(dāng)PQ不與AC平行，
∠CAB=∠PMB時，△ABC∽△MBP．
過B作AC的垂線，D為垂足．
sinA=

BD

AB

=

CO

AC

∴BD=

16

80

=

4 5

5

（10分）
∵∠ACB=∠MPB，∴Rt△CDB∽Rt△POQ．（11分）
∴

BD

OQ

=

BC

PQ

∴

4 5 5

k

=

4 2

k2+(8-k)2

即

1

10

=

k2

k2+(8-k)2

顯然0＜k＜4．
∴

1

9

=

k2

(8-k)2

，∴

1

3

=

k

8-k

∴k=2．
∴存在k符合題目條件，即當(dāng)k=

8

3

或2時，
所得三角形與△ABC相似．（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角函數(shù)的定義，相似三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，難度較大．（3）題中，要根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角的不同分類討論，不要漏解．