Question

（2013•廣州）已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c）過點(diǎn)A（1，0），頂點(diǎn)為B，且拋物線不經(jīng)過第三象限．
（1）使用a、c表示b；
（2）判斷點(diǎn)B所在象限，并說明理由；
（3）若直線y₂=2x+m經(jīng)過點(diǎn)B，且于該拋物線交于另一點(diǎn)C（

c

a

，b+8），求當(dāng)x≥1時(shí)y₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）拋物線經(jīng)過A（1，0），把點(diǎn)代入函數(shù)即可得到b=-a-c；
（2）判斷點(diǎn)在哪個(gè)象限，需要根據(jù)題意畫圖，由條件：圖象不經(jīng)過第三象限就可以推出開口向上，a＞0，只需要知道拋物線與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)即可解決，
判斷與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)可以考慮△，由△就可以判斷出與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由兩個(gè)不同的解x1=1，x2=

c

a

，(a≠c)，進(jìn)而得出點(diǎn)B所在象限；
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，y₁的取值范圍，只要把圖象畫出來就清晰了，難點(diǎn)在于要觀察出C(

c

a

，b+8)是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，理由是x1=1，x2=

c

a

，(a≠c)，由這里可以發(fā)現(xiàn)，b+8=0，b=-8，a+c=8，還可以發(fā)現(xiàn)C在A的右側(cè)；可以確定直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，看圖象可以得到，x≥1時(shí)，y₁大于等于最小值，此時(shí)算出二次函數(shù)最小值即可，即求出

4ac-b2

4a

即可，已經(jīng)知道b=-8，a+c=8，算出a，c即可，即可得出y₁的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c），經(jīng)過A（1，0），
把點(diǎn)代入函數(shù)即可得到：b=-a-c；

（2）B在第四象限．
理由如下：∵拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c）過點(diǎn)A（1，0），
∵x₁•x₂=

c

a

，
∴x1=1，x2=

c

a

，a≠c，
所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
又因?yàn)閽佄锞�不經(jīng)過第三象限，
所以a＞0，且頂點(diǎn)在第四象限；

（3）∵C(

c

a

，b+8)，且在拋物線上，
∴b+8=0，∴b=-8，
∵a+c=-b，∴a+c=8，
把B（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）、C（

c

a

，b+8）兩點(diǎn)代入直線解析式得：

b+8=2× c a +m 4ac-b2 4a =2×(- b 2a )+m b=-a-c=-8

，
解得：

a=2 b=-8 c=6 m=-6

或

a=4 b=-8 c=4 m=-2

（a≠c，舍去）
如圖所示，C在A的右側(cè)，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，y1≥

4ac-b2

4a

=-2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根與系數(shù)的關(guān)系和一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問題等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．