Question

如圖：在直角坐標(biāo)系中放入一邊長(zhǎng)OC為6的矩形紙片ABCO，將紙翻折后，使點(diǎn)B恰好落在x軸上，記為B'，折痕為CE，已知tan∠OB′C=

3

4

．
（1）求出B′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求折痕CE所在直線(xiàn)的解析式；
（3）作B′G∥AB交CE于G，已知拋物線(xiàn)y=

1

8

x²-

14

3

通過(guò)G點(diǎn)，以O(shè)為圓心OG的長(zhǎng)為半徑的圓與拋物線(xiàn)是否還有除G點(diǎn)以外的交點(diǎn)？若有，請(qǐng)找出這個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形COB′中，根據(jù)OC的長(zhǎng)和∠OB′C的正切值即可求出OB′的長(zhǎng)，也就求了B′的坐標(biāo)；
（2）本題的關(guān)鍵是求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．在直角三角形COB′中，根據(jù)勾股定理可求出B′C的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)：B′C=BC也就得出了BC、OA的長(zhǎng)．即可求出AB′的長(zhǎng)，在直角三角形AB′E中，設(shè)AE=x，那么B′E=BE=OC-AE=6-x，因此可根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)CE的解析式；
（3）由于圓心在y軸上，而題中給出的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸也是y軸，根據(jù)拋物線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性可知：G點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在拋物線(xiàn)上，因此可先根據(jù)B′的坐標(biāo)和直線(xiàn)CE的解析式求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出G′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB'C=

OC

OB′

=

3

4

，OC=6，
∴OB′=8，
∴點(diǎn)B′（8，0）；

（2）由已知得：△CBE≌△CB′E，
∴BE=B′E，CB′=CB=OA，
CB′=

OB′2+OC2

=10．
設(shè)AE=n，則EB′=EB=6-n，AB′=AO-OB′=10-8=2．
∴n²+2²=（6-n）²，
得n=

8

3

．
∴E（10，

8

3

），C（0，6）．
設(shè)直線(xiàn)CE的解析式y(tǒng)=kx+b，
根據(jù)題意得

6=b 8 3 =10k+b

解得：

b=6 k=- 1 3

CE所在直線(xiàn)的解析式：y=-

1

3

x+6；

（3）設(shè)G（8，a），
∵點(diǎn)G在直線(xiàn)CE上，
∴a=-

1

3

×8+6=

10

3

．
∴G（8，

10

3

）．
∵以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)G為半徑的圓的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，
拋物線(xiàn)y=

1

8

x²-

14

3

的對(duì)稱(chēng)軸也是y軸．
∴除交點(diǎn)G外，另有交點(diǎn)H，H是G點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
其坐標(biāo)為H（-8，

10

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、拋物線(xiàn)和圓的對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．