Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊的邊分別在軸，軸正半軸上，， 點從點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向終點運動，點不與點重合以為邊在上方作正方形，設(shè)正方形與的重疊部分圖形的面積為（平方單位），點的運動時間為（秒）．

（1）直線所在直線的解析式是__________________________．

（2）當點落在線段上時，求的值．

（3）在點運動的過程中，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）設(shè)邊的中點為，點關(guān)于點的對稱點為，以為邊在上方作正方形當正方形與重疊部分圖形為三角形時，直接寫出的取值范圍．

（提示：根據(jù)點的運動，可在草紙上畫出正方形與重疊部分圖形為不同圖形時的臨界狀態(tài)去研究．）

Answer 1

【答案】(1)； (2) ；(3) ；(4) 正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，t的取值范圍為：和

【解析】

(1)根據(jù)OA=6，OC=8求出點A、C的坐標為(0，6)和(8，0)，用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；
(2)點E在AC上時，四邊形OIPEF是正方形得EP∥AO，可證明△CPE∽△COA，由相似三角形的性質(zhì)即可求出t的值；
(3)點P運動過程中正方形OPEF與△ABC的重疊部分圖形的形狀不同，分3種情況考慮；
(4)根據(jù)點P的運動，先找出正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形時的臨界點，再綜合求t的取值范圍．

(1)設(shè)直線AC的解析式為，
如圖1所示：

∵OA=6，OC=8，
∴點A、C的坐標分別為(0，6)，(8，0)，
將點A、C兩點的坐標代入直線AC的解析式中得

，

解得：，

∴直線AC的解析式為：；

(2)當點E落在線段AC上時，如圖2所示：

∵OC=8，P從點O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點C運動，
∴，，，
∵EP∥AO，
∴△CPE∽△COA，

∴，即，

解得：；

(3)點P運動過程中正方形OPEF與△ABC的重疊部分圖形的形狀不同
分3種情況考慮，

①當時，如圖3(a)所示，
∵

∴；
②當時，如圖3(b)所示，

∵，
∴NP∥BC，FM∥AB，
∴△CNP∽△CAO∽△MAF，
∴，
∴，；
，
③當時，如圖3(c)所示，

∵PQ∥AO，
∴△CPQ∽△COA，
∴，
∴，
=+12t；
(4)根據(jù)點P的運動，畫出正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形時的臨界點，
①當P點開始向右移動時，正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，達到圖4(a)所示情況不再為三角形，

根據(jù)題意：KC'=KN，
∵點K為線段OC的中點，KN∥AO，
∴KN為△AOC的中位線，
∴KC'=KN=AO=×6=3，
CC'=KC'+KC=3+4=7，
∴，
解得：，
即；
②當點P運動到圖4(b)所示情況時，正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形開始為三角形．

∵，
∴，

∴，
∴CC'=，MC'=，
∴，
解得：；
③當點P運動到圖4(c)所示情況，正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，點P再運動到點C時不再為三角形．

∵點K為線段OC的中點，KN∥AO，
∴KN為△AOC的中位線，
∴KC'=KN=AO＝3，CC'=KC-KC'，
∴PC=CC′=，
解得：，
綜合所述：正方形KC′MN與△ABC重疊部分圖形為三角形，t的取值范圍為：和．