Question

11．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于AB兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，AB=4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若過點(diǎn)P（0，4）的直線（不與x軸，y軸平行）與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，求該直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（t，0），則B（t+4，0），則得到交點(diǎn)式y(tǒng)=-（x-t）（x-t-4），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出t即可得到拋物線解析式；
（2）設(shè)過P點(diǎn)的直線解析式為y=kx+4，由直線y=kx+4與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)得到方程-x²+2x+3=kx+4有相等的實(shí)數(shù)解，然后利用判別式的意義求出k的值即可．

解答 解：（1）設(shè)A（t，0），則B（t+4，0），
設(shè)拋物線解析式為y=-（x-t）（x-t-4），
把C（0，3）代入得-（-t）•（-t-4）=3，
整理得t²+4t+3=0，解得t₁=-1，t₂=-3（舍去），
所以拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）設(shè)過P點(diǎn)的直線解析式為y=kx+4，
因?yàn)橹本�y=kx+4與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以方程-x²+2x+3=kx+4有相等的實(shí)數(shù)解，
方程整理為x²+（k-2）x+1=0，
則△=（k-2）²-4=0，解得k=0（舍去）或k=4，
所以該直線的解析式為y=4x+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決（2）小題的關(guān)鍵是利用判別式的意義判斷直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．